Question

若0＜α＜β＜π/2，则下列不等式不正确的是

A sinα+sinβ＜α+β B α+sinβ＜sinα+β C α乘sinα＜β乘sinβ D β乘sinα＜α乘sinβ

Answer 1

首先A,C显然是正确的，这是因为0＜α＜β＜π/2内有 sinα＜α，sinβ＜β，sinα＜sinβ 将头两式子相加就有
sinα+sinβ＜α+β

再将sinα＜sinβ 和α＜β
两两相乘就有 α乘sinα＜β乘sinβ 成立，注意它们都是正数时才能这样保证不等号方向不变。
最后只剩下B，D要检验，举例子，令β=π/4，α=π/6代入 D、 β乘sinα＜α乘sinβ中，就可以知道它是错误的

备注：0＜α＜π/2 内一般有 sinα＜α，可以这样证明，构造一个辅助函数，
令f(a)= sinα-α
求一阶导数，有f'(a)=cosa-1 <0 (因为0＜α＜π/2，所以cosa<1,注意不能取等号)
由f'(a)=cosa-1 <0可以推出 f(a)在（0，π/2）上严格递减，
且由于f(0)=0，于是f(a)<f(0)=0，即sinα-α<0，也就是sinα<α