方法一：待定系数法
i）可令最终结果=X+A+B/(X-1)+C/(X-2)
={X(X-1)(X-2)+A(X-1)(X-2)+B(X-2)+C(X-1)}/(X-1)(X-2)
={X^3+(A-3)X^2+(2-3A+B+C)X+(-C+2A-2B)}/(X-1)(X-2)
与原式对比得
A=3
B=-1
C=8
带入得原式=X+3-1/(X-1)+8/(X-2)
ii）可分别设x=0，-1，3，并带入待定的等式，解此线性方程组，同样可求得A，B，C
所设形式的分析：
1)两个数a，b相除有a÷b=c....d。这同样适用于有理式相除，
在本例中的除法属于：商的次数由高次向低次取。
即
X^3÷(X-1)(X-2)=X+3.........(7X-6) [1]
而(7X-6)/(X-1)(X-2)=-1/(X-1)+8/(X-2) [2]
2)
[1]式相除的方法和除法相同，所以可用长除法得到。
[2]式除数阶次已高于被除数，无法用长除法得到。但他的核心为将分子表示为分母因子的线性组合（在本例中），即7X-6=B(X-2)+C(X-1),(其中B,C为常数)。这样，可得(7X-6)/(X-1)(X-2)=
[B(X-2)+C(X-1)]/(X-1)(X-2)=B/(X-1)+C/(X-2)
3)
一般，对于多项分式Pm/Qn，当m>=n时采用长除法获得商与余数，否则商为零。
设Rl为余数部分（l<n），对于Rl/Qn采用待定系数法。
eg：
(X^5+X^3+X^2+5)/（X^2+1）（X-2）（X-3）（X-1）^2
1）首先，除数的阶次为六，高于被除数，所以无需用到长除法
2）其次，分母分子互质，没有可相消的项
3）之后进入正题——化简分式
要想获得如上一题的简化结果，最重要的就是将分子用分母的因子的乘积之和表示
即，使(X^5+X^3+X^2+5)=A（X^2+1）（X-2）（X-3）
+C（X-2）（X-3）（X-1）^2
+E（X^2+1）（X-3）（X-1）^2
+F（X^2+1）（X-2）（X-1）^2
但这样表示是有问题的，因为一个含有四个参变量的多项式无法确定一个含有6个系数的5次多项式，所以必须再加两个参变量才能使得右边的式子可以表示所有五次多项式，而不是部分。改变的方法是：令A=AX+B,C=CX+D.这样既保证了右式的五次性质，又使参变量符合了要求
变化后的右式为 （AX+B）（X^2+1）（X-2）（X-3）
+(CX+D)（X-2）（X-3）（X-1）^2
+E（X^2+1）（X-3）（X-1）^2
+F（X^2+1）（X-2）（X-1）^2 【3】
将它带入原式有
=（AX+B）/(X-1)^2+(CX+D)/(X^2+1)+E/(X-2)+F/(X-3)
在这里第一项是可化简的
利用AX+B/(X-1)=A'........B'【4】,第一项可简化为A'/(X-1)+B'/(X-1)^2
即，最终可化简为A'/(X-1)+B'/(X-1)^2+(CX+D)/(X^2+1)+E/(X-2)+F/(X-3)
利用等式【3】和式【4】可得到各系数。
补充：当被除数为小于五次的多项式时，可将X^5的系数看做0,。要获得相应分母的简式，【3】式不变。
总结：待定系数法求解时，分解因式和解方程由于步骤多容易出错，另一种常见方法是留数法，他在某些情况下的计算步骤较少。
方法二：留数法
再次以
(X^5+X^3+X^2+5)/（X^2+1）（X-2）（X-3）（X-1）^2
为例
其他除（x^2+1）以外都很类似，就不再列举了。C和D可通过带入x=1，0,和已确定的系数求得（待定系数法）。
PS：1.(X^2+1)也是可分解为（x-i）（x+i）的，求其系数的方法相同。
2.留数法的形式多种多样，在此只是举了方便理解的形式
3.对于特定的题目，可综合两种方法以达到简单化计算
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