Question

求积分。。在线等

（x+2x^2)*根号下（1+16x^2)
求这个式子的积分
有过程

Answer 1

这道题的大体思路就是分部积分。只要满足ax√(bx²+c)这种形式的式子就可以直接把(bx²+c)当成一个整体换元积分，如果是ax²√(bx²+c)就要降低次数，把x²降成1次，怎么降？通过分部积分。具体看图吧（图片上传稍微慢一点）。

说明：①不保证我一定算对了，楼主自行验证一下，总之思路是这样。

②点击图片可以放大。

③里面最基本的概念比如什么是分部积分，什么是换元法等等我就不解释了，要是不太清楚可以查高数书。

Answer 2

32\9(1\2x^2+2\3x^3)*(1+16x^2)^0.5*x^3

追问

能写一下具体过程么

Answer 3

∫(x+2x^2)*√(1+16x^2)dx
=∫x√(1+16x^2)dx+∫2x^2*√(1+16x^2)dx
=(1/32)∫√(1+16x^2)d(1+16x^2) +(1/32)∫(4x)^2*√(1+16x^2)d4x
=(1/48)√(1+16x^2)^3 +(1/32)∫(4x)^2*√(1+16x^2)d4x
=(1/48)√(1+16x^2)^3+(1/32)x√(1+16x^2)^3+(-1/64)x√(1+16x^2)+(-1/64)ln|√(1+16x^2)+4x| +C

∫(4x)^2*√(1+16x^2)d(4x)
4x=tanu
=∫tanu^2*secu*secu^2du
=∫(secu^2-1)secu^3du
=∫secu^5du-∫secu^3du
=(1/4)secu^3 tanu +(-1/4)∫secu^3du
=(1/4)secu^3 tanu+(-1/8)secu tanu+(-1/8)ln|secu+tanu|+C
=x√(1+16x^2)^3+(-1/2)x√(1+16x^2)+(-1/8)ln|√(1+16x^2)+4x|+C

∫secu^5du
=∫secu^3dtanu
=secu^3 tanu-∫tanudsecu^3
=secu^3 tanu-∫3secu^3tanu^2du
=secu^3 tanu-∫3secu^3(secu^2-1)du
=secu^3 tanu-3∫secu^5du+3∫secu^3du
4∫secu^5du=secu^3 tanu+3∫secu^3du
∫secu^5du=(1/4)secu^3 tanu+(3/4)∫secu^3du

∫secu^3du
=∫secudtanu
=secutanu-∫tanudsecu
=secutanu-∫(secu^3-secu)du
2∫secu^3du=secutanu+∫secudu
∫secu^3du=(1/2)secutanu+(1/2)ln|secu+tanu|