Question

设f(x)在[0,1]上连续，且单调不增，证明∫(α,0)f(x)dx>=α∫(1,0)f(x)dx （0<α<1)

求详解

Answer 1

证明：记F(α) = ∫(α,0)f(x)dx - α∫(1,0)f(x)dx
则 F'(α) = f(α) - ∫(1,0)f(x)dx
从而F'(α)单调不增，又 F'(0) = f(0) - ∫(1,0)f(x)dx ≥ f(0) - ∫(1,0)f(0)dx = 0
F'(1) ≤ 0
因此F'(α)先大于0，然后小于0；也就是说F(α) 先单调增加，然后单调减少。
因此F(α) 在[0,1]上的最小值在端点处取得。
而F(0) = F(1) = 0,
总而知在0<α<1时，F(α) ≥ 0，证毕！