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第14题,求大神帮忙!!! 100
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【题目】来源:作业帮
已知数列{an}的前n项和为Sn,首项为a1,且1,an,Sn成等差数列。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn为数列{1an}的前n项和,若对于任意的n∈N+,总有Tn<m−43成立,求m的最小值。
【考点】
数列的求和
【解析】
(1)根据1,an,Sn成等差数列,建立条件关系,利用构造法进行化简,由此能求出an.
(2)判断数列{
1
an
}是等比数列,根据数列的前n项和公式,即可解不等式.
【解答】
(1)∵1,an,Sn成等差数列,
∴2an=Sn+1,
当n=1时,2a1=a1+1,∴a1=1,
当n⩾2时,Sn=2an−1,Sn−1=2an−1−1
两式相减得an=2an−2an−1,
即an=2an−1,
整理得anan−1=2,
∴数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,
∴an=a1⋅2n−1=1⋅2n−1=2n−1
(2)∵an=2n−1,∴1an=12n−1=(12)n−1为公比q=12的等比数列,
则Tn=1−(12)n1−12=2−(12)n−1
由Tn<m−43得2−(12)n−1<m−43,
即m>103−(12)n−1,
∵0<(12)n−1⩽1,∴−1⩽−(12)n−1<0,
则,∴−73⩽−(12)n−1<103,
∴m⩾103.故m的最小值为103.
已知数列{an}的前n项和为Sn,首项为a1,且1,an,Sn成等差数列。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn为数列{1an}的前n项和,若对于任意的n∈N+,总有Tn<m−43成立,求m的最小值。
【考点】
数列的求和
【解析】
(1)根据1,an,Sn成等差数列,建立条件关系,利用构造法进行化简,由此能求出an.
(2)判断数列{
1
an
}是等比数列,根据数列的前n项和公式,即可解不等式.
【解答】
(1)∵1,an,Sn成等差数列,
∴2an=Sn+1,
当n=1时,2a1=a1+1,∴a1=1,
当n⩾2时,Sn=2an−1,Sn−1=2an−1−1
两式相减得an=2an−2an−1,
即an=2an−1,
整理得anan−1=2,
∴数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,
∴an=a1⋅2n−1=1⋅2n−1=2n−1
(2)∵an=2n−1,∴1an=12n−1=(12)n−1为公比q=12的等比数列,
则Tn=1−(12)n1−12=2−(12)n−1
由Tn<m−43得2−(12)n−1<m−43,
即m>103−(12)n−1,
∵0<(12)n−1⩽1,∴−1⩽−(12)n−1<0,
则,∴−73⩽−(12)n−1<103,
∴m⩾103.故m的最小值为103.
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想知道答案吗?下载一个答题程序。什么来着,原谅我的记忆,一拍就有。。。猿题库还是啥。。。试试
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光滑和什么是反义词,真诚和什么是反义词?
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