Question

大学初等数论证明题,证明(a,b,c)[ab,bc,ca]=abc

Answer 1

（这里题目条件应该有a,b,c是正整数吧？反正我是按这个做的）
解：设（a,b,c）=d, (a,b)=pd, (a,c)=rd, (b,c)=pd, 其中p,q,r,d均为正整数
由（a,b）整除a，(a,c)整除a，设a=xprd。同理可设b=ypqd,c=zqrd（x,y,z均为正整数）
则ab=xy(p^2)rq(d^2), bc=yz(q^2)rp(d^2), ca=zx(r^2)pq(d^2) 所以【ab,bc,ca】=xyz（pqrd)^2
所以左边 = d*xyz（pqrd)^2 = xprd*ypqd*zqrd = abc = 右边
所以得证！

追问

设（a,b,c）=d, (a,b)=pd, (a,c)=rd, (b,c)=pd, 其中p,q,r,d均为正整数

(a,b)=pd，(b,c)=pd？

追答

抱歉，（b,c)=qd

Answer 2

解：设（a,b,c）=d, (a,b)=pd, (a,c)=rd, (b,c)=qd, 其中p,q,r,d均为正整数
由（a,b）整除a，(a,c)整除a，设a=xprd。同理可设b=ypqd,c=zqrd（x,y,z均为正整数）
则ab=xy(p^2)rq(d^2), bc=yz(q^2)rp(d^2), ca=zx(r^2)pq(d^2) 所以【ab,bc,ca】=xyz（pqrd)^2
所以左边 = d*xyz（pqrd)^2 = xprd*ypqd*zqrd = abc = 右边
所以得证！