Question

请教一道数学题，见问题补充

如图，已知过点A的直线AB；y=-2x+4和直线AC:y=½x-1,过原点O的抛物线的顶点为B（1,2）
（1）直线AC与y轴的交点C的坐标为------，∠CAB=-----
（2）求出抛物线的解析式
（3）点P（m,n）是抛物线上OB间的一点
①作PQ平行于y轴交直线AC于点Q,当线段PQ被x轴平分时，求出点P的坐标
②作PM⊥AB于M,PN⊥AC于N,四边形PMAN能否为正方形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由
我只是不会做（3）②，回答这一小问就行了，图片差不进去，不过图可以画出来，麻烦了，我再提高一点分

Answer 1

（3）②正确答案应该是存在唯一一个这样的P点。
思路给你点一下（关键是公式不好输入）。
首先（2）求出抛物线的解析式为：y=-2(x-1)^2+2.
因为第（1）问中求出∠CAB=90度，所以AC⊥AB，
又因为PM⊥AB，PN⊥AC，所以四边形PMAN为一个矩形，
若想要PMAN为正方形，只要保证PMAN有2个临边相等就可以了。
下面证明PMAN有2个临边相等。
需要用到点到直线的距离公式（课本上应该有这个公式）：
点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=(Ax0+By0+C)的绝对值/根号下（A^2+B^2).
不妨我们证明PM=PN，P点已知为（m,n），
代入距离公式最终整理得到：(2m+n-4)的绝对值=(m-2n-2)的绝对值
解绝对值方程得到只有一个点P（1/6，11/18）满足条件，（其余三个点都舍掉了）。
还有一点需要提醒你第（2）中求出的抛物线有2条，还有一条是x=(-1/4)(y-2)^2+1,解法类似。

Answer 2

解：（1）因为A(2,0) ，C(0,4)代入抛物线得b=2，c=4
∴抛物线解析式为y=-2x^2+2x+4
（2）p点为（0.5，4.5） 因为p到直线AC距离为（3√5）/10，AC长为2√5
∴三角形APC面积为3/2. 又AB=3，由题意S△ABQ=4S△APC,∴1/2AB*h=4*3/2
∴h=4，即Q点纵坐标的绝对值为4， 设Q为（m,4）或（m,-4）带入抛物线的解析式结得：
Q1（0,4）Q2（1,4）Q3（（1+√7）/2）Q4（（1- √7）/2）
（3）存在点F使△MEF为等腰直角三角形。设M(x，y)∵F不在原点, ∴点E不为直角顶点。
当M为直角顶点时,若xy同号(同正,即M在一象限)即x=y ∴M(4/3,4/3) F(0,4/3)
若 xy异号(M在二或四象限),则x=-y∴M(4，-4) F(0，-4)
当F为直角顶点时，若 xy同号(M在一象限) 有M(1,2) F(0,1)
若xy 异号(M在二象限或四象限) 无解
∴存在△MEF为等腰直角三角形

追问

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