Question

如图，在RT三角形ABC中，角A=90度，AD垂直BC，D为垂足，角ABC的平分线交AD,AC于点E，F，请说明：AE=AF

如图，在RT三角形ABC中，角A=90度，AD垂直BC，D为垂足，角ABC的平分线交AD,AC于点E，F，请说明：AE=AF

Answer 1

证明;因为角A=角DAB+角DAC=90度
因为AD垂直BC于D
所以角ADC=90度
因为角ADC+角DAC+角C=180度
所以角DAC+角C=角DAB+角DAC=90度
所以角DAB=角C
因为角ABC的平分线交AD,AC于点E,F
所以角EBA=角EBC
因为角AEF=角EBA+角DAB
角AFE=角EAC+角C
所以角AEF=角AFE
所以AE=AF(等角对等边）

Answer 2

过F做FQ⊥BC,AD⊥BC
∴AD∥FQ
∴∠BED=∠BFC
∵∠AEF=∠BED
∴∠AEF=∠BFQ
又∵BF平分∠ABC,
∠BAC=∠BQF=90°
∴∠AFE=∠BFQ
∴∠AEF=∠AFE
∴△AEF是等腰三角形
∴AE=AF

Answer 3

过点F作BC的垂线交于点Q，
BF为角平分线，∴AF=QF
设角C为x度，则角FBQ为1/2(90°-x)，
∴角AFB=1/2(90°-x)+x=1/2(90°+x)。
角AEF=角BED=180°-90°-1/2(90°-x)=1/2(90°+x)。
∴角AFB=角AEF
∴△AEF为等腰三角形，即AE=AF。