Question

已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=2an+(-1)^n,n>=1,求{an}

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

Sn=2an+(-1)^n
a1=S1=2a1-1
a1=1
S2=a1+a2=2a2+1
a2=0

S[n+1]-a[n+1]=a[n+1]+(-1)^(n+1)
S[n]=a[n+1]+(-1)^(n+1)
2a[n]+(-1)^n=a[n+1]-(-1)^n
a[n+1]-2a[n]=2(-1)^n -----(1)
a[n]-2a[n-1]=-2(-1)^n
a[n+1]=2a[n-1]+a[n]
a[n+1]+a[n]=2(a[n]+a[n-1])
所以 {a[n+1]+a[n]} 是以 a2+a1=1 为首项，2为公比的等比数列。
a[n+1]+a[n]=2^(n-1) -----(2)
(2)-(1),得
3a[n]=2^(n-1)-2(-1)^n
a[n]=1/3*(2^(n-1)-2(-1)^n)
验证n=1时也成立，所以an的通项是1/3*(2^(n-1)-2(-1)^n)