Question

若[根号X＋3次根号X分之3]的N次方的展开式中存在常数项，求最小的自然数N,并求相应的常数项

Answer 1

[√x +³√(3/x)]ⁿ=[x^(1/2)+3^(1/3)x^(-1/3)]ⁿ
存在常数项，即存在[x^(1/2)]^k×[x^(-1/3)]^(n-k) (k∈N且k≤n)项不含x。
x^[k/2 -(n-k)/3]为常数，k/2 -(n-k)/3=0
整理，得
2n=5k
n=5k/2
要n为正整数，k最少为2，此时n=5
常数项=C(5 1)×1×[3^(1/3)]^(5-1)=5×3^(4/3)，相应的常数项为5×3^(4/3)。