Question

设f（x）在（0~正无穷）有定义，且f '(1)=1,对任意x，y，恒有f（xy）=yf(x)+f(y),求 f(x)?

Answer 1

令y=1 得到 f(x)=f(x)+f(1) 推出 f（1）=0
大体思路是方程左右边对x，y分别求偏导
可得f`(xy)y=f(y)+yf`(x) (对y求偏导)
f`(xy)x=f(x)+xf`(y) (对x求偏导)
把含xy这个变量的函数去掉
可以得到f(y)/y+f`(x)=f(x)/x+f`(y)
然后把含x放在一边，含y的放在一边
可以得到f`(y)-f(y)/y=f`(x)-f(x)/x
因为x，y是各自自由的变量
所以上式左右两边应该恒等于某常数
既f`(x)-f(x)/x=c
再就是解一阶微分方程啊，全书有3种解法
最后得结果是f(x)=cxlnx+ax,ac为常数
∵f（1）=0 得到a=0 f '(1)=1 得到c=1 ∴ f（x）=xlnx
给分吧！很费脑力的！

追问

你对x，y求偏导时错了