差分方程的通解～ 5
线性差分
概念
形如
yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=f(t)
的差分方程，称为n阶非齐次线性差分方程。其中a1(t），a2(t），…，an-1(t），an(t）和f(t）都是t的已知函数，且an(t）≠0，f(t）≠0。而形如
yt+n+a1(t)yt+n-1+…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=0
的差分方程，称为n阶齐次线性差分方程。其中ai(t)(i=1，2，…，n）为t的已知函数，且an(t）≠0。
如果ai(t)=ai(i=1，2，…，n）均为常数（an≠0），则有
yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f(t），
yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0。
分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程。
定理
定理1（齐次线性差分方程解的叠加原理）
若y1(t），y2(t），…，ym(t）是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的m个特解（m≥2），则其线性组合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Amym(t）也是方程 的解，其中A1，A2，…，Am为任意常数。
定理2n阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解。
定理3（齐次线性差分方程通解结构定理）
如果y1(t），y2(t），…，yn(t）是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关的特解，则方程 的通解为：
yA(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t），
其中A1，A2，…，An为n个任意（独立）常数。
定理4（非齐次线性差分方程通解结构定理）
如果 (t）是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2 +…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=f(t）的一个特解，yA(t）是其对应的齐次线性方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的通解，那么，非齐次线性差分方程的通解为：
y(t)=yA(t)+ (t)
即
y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+ (t），
这里A1，A2，…，An为n个任意（独立）常数。
通解特解
齐次差分方程的通解
将方程yt+1+ayt=0改写为：yt+1=-ayt，t=0，1，2，…。假定在初始时刻（即t=0）时，函数yt取任意值A，那么由上式逐次迭代，算得
y1=-ay0=-aA，y2=-ay1=(-a)2A，………………方程的通解为yt =A(-a)t ，t=0，1，2，…
如果给定初始条件t=0时yt=y0，则A=y0，此时特解为：yt =y0(-a)t
非齐次方程的通解与特解
迭代法求通
将方程改写为 yt+1=(-a)yt+f(t）， t=0，1，2，…。
逐步迭代，则有
y1=(-a)y0+f(0），y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1），y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2），………………
由数学归纳法，可得
差分方程
其中
差分方程
为方程的特解。yA(t)=(-a)ty0为对应的齐次方程的通解。
