Question

如图,将直角三角形ABO放入平面直角坐标系xoy中,直角顶点O与原点重合，点A（m,6),B(n,1)为两动点（接下）

（接上）Rt三角形ABO能绕点O旋转，其中0＜m＜3，做BC⊥x轴与C点，AD⊥x轴与D点
（1）求证mn=-6
(2)当S△AOB=10时，抛物线经过A,B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数关系式
（3）在（2）的条件下，设直线AB与y轴交于F，过点F作直线l交抛物线于P,Q两点，问是否存在直线l，使S△POF:S△QOF=1:3？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)很显然，点B应在第二象限，因为∠BOC=∠OAC（都是∠AOC的余角），∠BCO=∠ODA=90°，△BOC∽△OAD，BC:OD=OC:AD，BC=1，OC=-n，OD=m，AD=6。所以mn=-6
(2)S△AOB=0.5*OA*OB=0.5×根号下(n^2+1)×根号下(m^2+36)=10，(也可用梯形BCDA-三角形BCO-三角形AOD=三角形AOB，这个式子比较好解:(6+1)×(m-n)/2+n/2-3m=10注意n的符号) 此式与mn=-6联立解得m=2,n=-3或m=18,n=-1/3（舍去，因为0<m<3），所以A(2,6),B(-3,1)，因为抛物线以Y轴为对称轴，所以用顶点式设抛物线方程为y=ax^2+h，代入A,B两点坐标，解得抛物线方程是y=-x^2+10
(3)先求出F点坐标，用BF斜率=AB斜率即可，不用求直线方程。(YF-1)/(0+3)=(2+3)/(6-1)，解得F(0,4)。
POF与QOF共用一个底边OF，所以面积之比就是OF上的高之比。设P在左，Q在右，XP是P横坐标，XQ是Q横坐标。S△POF:S△QOF=-XP:XQ=1:3，设XP=α<0，XQ=-3α
所以直线PQ可设为y=kx+4，将此式与抛物线方程联立，解得x^2+kx-6=0，此方程两根即为XP,XQ。两根之和-k=α-3α，两根之积-6=-3α^2，解得α=-根号2，或根号2（因α<0舍去）。所以k=2α=-2倍根号2，直线AB方程为y=-2倍根号(2)x+4

Answer 2

(1)很显然，点B应在第二象限，因为∠BOC=∠OAC（都是∠AOC的余角），∠BCO=∠ODA=90°，△BOC∽△OAD，BC:OD=OC:AD，BC=1，OC=-n，OD=m，AD=6。所以mn=-6
(2)S△AOB=0.5*OA*OB=0.5×根号下(n^2+1)×根号下(m^2+36)=10，(也可用梯形BCDA-三角形BCO-三角形AOD=三角形AOB，这个式子比较好解:(6+1)×(m-n)/2+n/2-3m=10注意n的符号) 此式与mn=-6联立解得m=2,n=-3或m=18,n=-1/3（舍去，因为0<m<3），所以A(2,6),B(-3,1)，因为抛物线以Y轴为对称轴，所以用顶点式设抛物线方程为y=ax^2+h，代入A,B两点坐标，解得抛物线方程是y=-x^2+10
(3)先求出F点坐标，用BF斜率=AB斜率即可，不用求直线方程。(YF-1)/(0+3)=(2+3)/(6-1)，解得F(0,4)。
POF与QOF共用一个底边OF，所以面积之比就是OF上的高之比。设P在左，Q在右，XP是P横坐标，XQ是Q横坐标。S△POF:S△QOF=-XP:XQ=1:3，设XP=α<0，XQ=-3α
所以直线PQ可设为y=kx+4，将此式与抛物线方程联立，解得x^2+kx-6=0，此方程两根即为XP,XQ。两根之和-k=α-3α，两根之积-6=-3α^2，解得α=-根号2，或根号2（因α<0舍去）。所以k=2α=-2倍根号2，直线AB方程为y=-2倍根号(2)x+4

Answer 3

网上的回答，第三问我们假设的是P 点在左，显然P点也可以在右，所以结果是斜率不同的两条直线