Question

高一关于集合的一道奥数题~~~求救

设集合A的元素都是正整数,满足如下条件:
(1)A的元素个数不小于3；
(2)若a∈A，则a的所有因素都属于A；
(3)若a∈A，b∈A，1<a<b，则1+ab∈A
求证：A=N+

主要是证明A=N+
书上写的是
由（1）知，1、2、3、4、5都是集合A的元素，假设1,2,3,4,5.。。。。。。n E A（n大于等于5），下证n+1 E A
如果n+1=2k+1为奇数，那么k大于等于3小于n，于是n+1=1+2k E A
如果n+1=2k是偶数，那么k大于等于3小于n，于是n=2k-1 E A，1+2kE A，所以1+（2k-1)（2k+1)=4k平方E A，从而2k E A，即n+1 E A
证毕

可 （ k大于等于3小于n ） 这一范围如何确定的？
求指导
谢谢！！

Answer 1

由于12345都在集合A内, 所以设的n>=5.
那么n+1若为奇数, n+1>=7. n+1=2k+1>=7, k>=3.
n+1=2k+1, k=n/2. 所以3<=k<n
同样, 如果n+1是偶数, 那么n+1=2k>=6. k>=3
k>1, n+1=2k>k+1, 所以3<=k<n

主要的问题是, 为什么3∈A.
如果A集合的数都满足=1, 或者=3m+2 (m>=0)
那么, 或者某数为1, 或者某数除以3模2.
1<a<b，则1+ab∈A, 显然1不能进入此运算. 那么其他的数字对3的模都是2
则有, MOD(1+ab,3)=MOD(1+2*2,3)=MOD(5,3)=2
也就是说, 通过1+ab的运算得到的所有数都满足3m+2的形式.
A集合中没有数字3...

追问

若a∈A，则a的所有因素都属于A；1为任何数因数。1 E A
设a E A，b E A，1《a《b，若a,b中至少有一偶数，则2 E A；若a,b同为奇数，则1+ab E A,而1+ab是偶数，故2 E A 。
设1,2，a E A(a>2),则
1+2a E A,1+2(1+2a)=3+4a E A,
1+(1+2a)(3+4a)=4+10a+8a平方 E A
若a为偶数，4整除（4+10a+8a平方),于是4 E A，若a为奇数，则把（4+10a+8a平方)作为a重复以上过程可得4EA
又1+2*4=9 E A，所以3 E A。 A集合中有数字3吧.

追答

不妨设1, 2, 5∈A
a=5
1+2a=11
3+4a=23
4+10a+8a^2=254
无法推算4∈A

其实不如假设某个数可以写成1+2i的形式.
如果MOD(1+2i,4)=0, 那么MOD(2i,4)=3
由于2i是偶数, 那么其被4除后只能余2 或者 0
显然通过这种乘法是无法得到4∈A的

Answer 2

第一步：2∈A，证明略
第二步：另外一个x,使用条件三构造序列
当 mod(x,5) = 0时;
当 mod(x,5) = 1时,y=1+2x,mod(y,5)= 3,z=1+xy,mod(z,5) = 4,zz = 1+xz,mod(zz,5)=0;
当 mod(x,5) = 2时,y=1+2x,mod(y,5)= 0;
当 mod(x,5) = 3时,y=1+2x,mod(y,5)= 2,z=1+2y;mod(z,5) = 0;
当 mod(x,5) = 4时,y=1+2x,mod(y,5)= 4,z=1+xy;mod(z,5) = 2,zz=1+2z,mod(zz,5)=0;
综上必有a∈A且mod(a,5) = 0，再根据条件二，=>5∈A
第三步：
2∈A,5∈A => 11=(1+2*5)∈A => 56=(1+5*11)∈A => 7∈A => 15=(1+2*7)∈A => 3∈A