Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）Y-7m-4=0

求直线l被圆截得的弦长最短时m的值以及最短长度

Answer 1

直线l：（2m+1）x+（m+1）Y-7m-4=0
方程可化为：m (2x+y-7)+(x+y-4）=0
由 2x+y-7=0与x+y-4=0求出交点为A(3,1)
将A(3,1)代入l满足方程，则直线l恒过A(3,1)
将A(3,1)代入圆C方程左边：
（3-1）²+（1-2）²=5<25
∴A(3,1)在圆C内部
以A(3,1)为中点的弦是过A的最短弦
此时l⊥AM,l的斜率k*kAM=-1
∴-(m+1)/(2m+1)*(2-1)/(1-3)=-1
m+1=-2(2m+1) ==>m=-3/5
∵| AM|=√(2²+1)=√5
∴根据勾股定理，得
半弦长=√（r²-M²A）=2√5
∴最短弦长度=4√5

Answer 2

直线：（2m+1）x+（m+1）Y-7m-4=0
m(2x+y-7)+(x+y-4)=0
令2x+y-7=0
x+y-4=0 x=3,y=1
直线经过定点A(3,1) 圆心坐标C(1,2)
圆心到直线的最大距离d=|AC|=√5，此时直线AC垂直直线l
圆心到直线的最大距离最大，则弦长最短
半弦^2=r^2-d^2=20 半弦=2√5
最短长度=4√5
kAC=-1/2
kl=2
kl=-(m+1)/(2m+1)=2
m=-1