Question

不定积分，如图下面的结果，是怎么通过上面的积分算出来的？

Answer 1

①左右两边的积分结果：
左边令y=secu，
则dy=secu*tanudu，
左边的积分∫dy/√yy-1
=∫secudu
=∫du/cosu
=∫d(u+π/2)/sin(u+π/2)
=∫dt/sint
=∫dt/【2sint/2*cost/2】
=∫dt/【2tant/2*（cost/2*cost/2）】
=∫d(tant/2)/(tant/2)
=Ln|tant/2|+C
=Ln|csct-cott|+C
=Ln|secu+tanu|+C
=Ln|y+√yy-1|+C1★
右边=±x+C2
得到Ln|y+√yy-1|=±x+C★★
②左边的积分结果★的变形：
有公式【Ln(y+√yy-1)=archy反双曲余弦】
③成立：
archy=±x+C
y=ch(±x+C)
=【e^(±x+C)+e^(±x+C)】/2

追问

我去，原来是真公式啊

Answer 2

现将上式根号内的（y^2-1）利用平方差公式展开，然后理工分母有理化，然后再拆开分别求积分即可。

Answer 3

有什么初始条件

追问

追答

对两边积分得y+√(y^2-1)=ce^x再将y(1)=1代入得c=1/e 然后化简就得到答案了 ∫1/(√y^2-1)dy=ln(y+√(y^2-1))+c