Question

已知f(x)=1/2x2

Answer 1

已知函数f(x)=1/2x^2+Inx

1.求函数f(x)在（1，e)上的最大值和最小值
2.求证 在区间（1，正无穷大），函数f(x)的图像在函数g(x)=2/3x^3的图像下方

已知函数f(x)=1/2x^2+lnx
1.求函数f(x)在（1，e)上的最大值和最小值
已知f(x)=(1/2)x^2+lnx
所以，f'(x)=x+(1/x)
那么，当x∈(1,e)时，f'(x)＞0
则函数f(x)在(1,e)上单调递增
所以，当x∈(1,e)时：
f(x)|min=f(1)=(1/2)
f(x)|max=f(e)=(e^2/2)+1

2.求证 在区间（1，正无穷大），函数f(x)的图像在函数g(x)=2/3x^3的图像下方
令函数F(x)=f(x)-g(x)=(1/2)x^2+lnx-(2/3)x^3
则，F'(x)=x+(1/x)-2x^2=(x^2+1-2x^3)/x=(1-x)*(2x^2+x+1)/x
因为2x^2+x+1=2*[x^2+(1/2)x+(1/4)]+(1/2)=2*[x+(1/2)]^2+(1/2)＞0
所以，当x∈(1,+∞)时，F'(x)＜0
即，函数F(x)在x∈(1,+∞)时单调递减
又，F(1)=(1/2)-(2/3)=-1/6＜0
所以，F(x)＜-1/6＜0
即，f(x)＜g(x)
亦即，当x∈(1,+∞)时，f(x)在g(x)的下方.

Answer 2

f(x)=1/2x2即f(x)=1 然后呢？