Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为二分之根号二

已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为二分之根号二 直线l:y=x+2根号2与以原点为圆心，以椭圆c1的短半轴长为半径的圆相切。
求椭圆C1的方程
设椭圆C1的左焦点为f1，右焦点为f2 直线L1过F1 且垂直于椭圆的长轴 动直线L2垂直于L1于P 线段PF2的垂直平分线交L2于M，求M的轨迹C2的方程
若AC、BD为C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积最小值

Answer 1

直线l:y=x+2根号2与以原点为圆心，以椭圆c1的短半轴长为半径的圆相切。
圆心到直线的距离为|2|/√2=√2
所以半径为√2，即b=√2
c/a=√2/2
所以c=√2，a=2,
椭圆方程
x^2/4=y^2/2=1

L1:x=-√2
L2：y=c
则P(-√2,c)
F2(√2,0)
kpf2=-c/(2√2)
P,F2中点
(0,c/2)
所以PF2的垂直平分线方程为
y-c/2=-c/(2√2)x
与L2的交点是
c-c/2=-c/(2√2)x=c/2
即
x=-2√2(M点的直线方程)

第三问，条件太宽了吧？

追问

原题就是这样啊 还有内个圆心到直线的距离不是应该是2吗

追答

AB、CD过F2点，且相互垂直
所以面积实际就是AB*CD÷2
若AB为x=√2，此时易求得面积为4
当AB或CD不与坐标轴垂直时
设AB方程为y=k(x-√2)
CD方程为y=-1/k(x-√2)
然后代入椭圆方程，消去一个未知数，化为另一个未知数的一元二次方程，再根据一元二次方程根与系数的关系求|x1-x2|，然后求面积。
太麻烦了，感觉这一问没多大意义，就是计算

追问

那好 谢谢