Question

一道初中数学题求详解↓

如图，在△ABC中，∠ABC=∠BAC=70°，P为形内一点，∠PAB=40°，∠PBA=20°，求证PA+PB=PC。

Answer 1

作了10条辅助线，证了10次左右的全等，才证出来，本人觉得太复杂。这几天没什么时间，我周末才答。

追问

好的，谢谢哈。

追答

先把图发上来，供参考

追问

这道题好难啊。

追答

这道的证明总的来说分两步走：
第一步，证明∠2=10º；第二步，证明PC=PA+PB。
证明：如图所示，编了5个角（为了下面的书写方便）。
∵∠ABC=∠BAC=70°，∠PAB=40°，∠PBA=20°
∴△ABC为等腰三角形，∠PAC=70º﹣40º=30º，∠PBC=70º﹣20º=50º
∠ACB=180º－70°－70°=40º
在等腰△ABC中作∠ACB的平分线CF
∴得CF⊥AB且平分AB（等腰三角形三线合一）
∴∠ACF=∠BCF=½∠ACB=½×40º=20º
在∠PBC中，以BC为一边作∠CBD=30º，在射线BD上截取BD=AP，连接PD交CF于点E
∴∠PAC=∠DBC=30º
又∵AC=BC（已证）
AP=BD（所作辅助线）
∴△APC≌△BDC（SAS）
∴∠2=∠5，CP=CD
又∵∠ACF=∠BCF（已证）
∴∠ACF－∠2=∠BCF－∠5
即∠3=∠4
又CP=CD（已证）
AE=AE（公共边）
∴△CPE≌△CDE（SAS）
∴∠CEP＝∠CED
∴CF⊥PD且平分PD（等腰三角形三线合一）
又∵CF⊥AB且平分AB（已证）
∴PD∥AB（垂直于同一直线的两直线平行）
∴∠DPB=∠PBA=20º（两直线平行，内错角相等）
又∵∠PBD=∠ABC－∠ABP－∠DBC=70º－20º－30º=20º
∴∠PBD=∠DPB=20º（等量代换）
∴DP=DB（等角对等边）
把线段PD绕点D逆时针旋转，令其另一端点P与射线CF交于点F，连接PF，
则得PD=PF
∵CF⊥PD且平分PD（已证）
∴PF=DF（垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
∴PF=DF=PD=PA（等量代换）
∴△PDF为等边三角形，△DFB为等腰三角形
∴∠DFE=½∠DFB=½×60º=30º，
∠DFB=∠DBF
又∵∠BDF=180º－∠PDF－∠DBA（两直线平行，同旁内角互补）
=180º－60º－40º=80º
∴∠DFB=∠DBF=½（180º－80º）=50º
∵∠CFB=∠DFB+∠DFE=50º+30º=80º
∠CBF=∠DBF+∠DBC=50º+30º=80º
∴∠CFB=∠CBF=80º
∴CF=CB（等角对等边）
又∵AC=CB（已证）
∴AC=CB=CF（等量代换）
∵∠PAC=∠CFD=30º（已证）
PA=DF
∴△CAP≌△CFD（SAS）
∴∠2=∠4
∵∠2=∠5，∠4=∠3（已证）
∴∠2=∠3=∠4=∠5（等量代换）
∴∠2=∠3=∠4=∠5=¼∠ACB=¼×40º=10º
(因字数超上限,所答案未上传完善)

Answer 2

在pc上取一点d，使得pb=pd，再证三角形APC和三角形CPB全等~~~~

Answer 3

是不是把题意你给打一遍

追问

题意打完了如图，在△ABC中，∠ABC=∠BAC=70°，P为形内一点，∠PAB=40°，∠PBA=20°，求证PA+PB=PC。

Answer 4

过P点做AC,AB,BC,的垂直线就可以求出来了

追问

求详细步骤题目如图，在△ABC中，∠ABC=∠BAC=70°，P为形内一点，∠PAB=40°，∠PBA=20°，求证PA+PB=PC。