Question

求详细解释下这个积分顺序变换怎么弄

Answer 1

1、楼上网友的解答，只是原则性的泛泛解说，并未涉及到具体的实质，

     更没有涉及到具体的化重积分为累次积分的技巧。对大概的笼统的

     理解三重积分有一点帮助，但对实质性解题能力与解题技巧的提高，

     没有丝毫帮助。

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2、本题的意思是说明：

A、在三重积分中，由于不存在不定积分，无论对谁先积分，都是属于

      定积分 definite integral；

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B、由于最先积分的那一部分，不是一个具体的数字，而是一个函数；

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C、将最先积分的结果当成函数后，剩下来的部分就是二重积分，最

      先的积分表达式，就是剩下来的二重积分的被积函数 integrand；

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D、对于二重积分，我们很容易绘出积分区域，进行顺序交换。

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3、在交换积分顺序时，第三个自变量，当成常数对待。这种只是临时

     当成常数，而不是真正的常数，英文中称为 held constant，或者

     dummy variable，中文怎么说法，不好意思，我不清楚。我平时

     习惯上看英文原版书籍，能事半功倍，领会理论的原汁原味。

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4、下面的图片，提供了五种改变顺序的结果。其中用粉红色highligted

     的就是楼主讲义上的情况。楼主若有疑问，欢迎追问，有问必答。

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5、若点击放大，图片更加清晰。

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等待着楼主的进一步追问，不必犹豫，有疑问立即追问，立即解答。

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追问

什么楼上的没回答实质，就是个复制粘贴党

Answer 2

多重积分，积分顺序是从右向左的。积分顺序可以这样理解：
二重积分，积分范围是平面上的一个区域。积分的本义是对积分区域内各个小块dS进行积分。如何将一个区域划分成许多小方块，决定了积分次序。在直角坐标系中，dS是小方块dxdy,先沿一个方向，将区域切成一个个条儿，然后再将每一个条儿沿垂直方向，切成许多小方块。比如，先沿垂直于x轴方向，切条儿；次沿垂直于y方向切块儿，就是：∫(x1,x2)dx∫(y1,y2)f(x,y)dy,对于每个条儿，积分上下限与其位置x有关，先沿y积分一个条儿，将y代换成x，然后再对x积分将各个条儿积起来，y1，y2是x的函数，而x1，x2就确定的数值。
如果，先沿垂直于y轴的方向切条儿，再沿垂直于x轴方向将每条儿切成小块，积分就是：∫(y1,y2)dy∫(x1,x2)f(x,y)dx，x1，x2是y的函数，y1，y2就是确定的值。先沿x轴积分一个条儿，结果得到一个y的函数，再沿y，将各个条儿积起来。
三重积分，积分范围是一个体。先沿垂直于x轴方向，将这个体，且成一个个薄片儿；其次沿垂直于y轴的方向，把一个薄片儿，切成一个个条儿；最后沿垂直于z轴方向，将每个条儿切成一个个小方块儿。积分是：
∫(x1,x2)dx∫(y1,y2)dy∫(z1,z2)f(x,y,z)dz,其中x1、x2是确定值；y1、y2是x的函数；z1，z2是x，y的函数。
先垂直于y轴切片儿，再垂直于z轴切条儿，后沿x轴切块儿，就是：
∫(y1,y2)dy∫(z1,z2)dz∫（x1，x2）f（x，y，z）dx，其中y1,y2是确定值，z1，z2就是y的函数，x1，x2就是y，z的函数。
其余类推。
对于极坐标，是ρdρdθ形成的小“纸扇形”，两边是弧，两边是半径的直线；先分角，形成小扇形，次分半径方向，形成小纸扇形，∫（θ1，θ2)dθ∫ρf(ρ，θ)dρ；

追问

复制粘贴有意思吗？

追答

这是我一个一个字打出来的，天底下除了我，没有人这样理解多重积分。是我自己的学习的体会和发现。