Question

为什么罗尔定理和拉格朗日中值定理的第二个条件是开区间上可导，而不是闭区间上可导？

Answer 1

答案：因为闭区间左右两个端点不可导，所以第二个条件是开区间上可导，而不是闭区间上可导。
解释：函数在某点可导，首先要保证函数要在该点处连续。这两个中值定理的第一个条件就已经给出了函数在闭区间上连续了。所以闭区间的两个端点是连续的。然后证明该点存在左右导数，并且左导数 = 右导数。然而，显而易见，闭区间的右端点不存在右导数，左端点不存在左端点。所以。闭区间端点出不可导。因而是在开区间上可导，而不是在闭区间上可导。

Answer 2

应该是扩大定理的适用范围，开区间的要求要比闭区间低。
个人觉得，说闭区间左右端点不可导的这种解释不合理。根据同济版高数书的定义:如果f(x)在开区间(a,b)内可导，且f'+(a)(即a的右导数)及f'-(b)(即b的左导数)存在，则f(x)在闭区间[a,b]可导。

Answer 3

上述解释明显是错误的，根据同济第七版，左端点只需要右极限存在，右端点只需要左极限存在即可。

Answer 4

网页链接

知乎上举出了反例说明存在开区间可导而闭区间端点不可导仍然适用罗尔中值定理