Question

“线性空间V的一个非空子集W,若关于V的加法和数乘封闭,则W就是V的一个子空间”是什么意思

科学出版社，线性代数第二版 139页4.5.1如是说，求解释

Answer 1

零变化属于U 所以U分非空

任意σ1 σ2属于U 那么对于任意x属于V有σ1 (x)=k1x σ2 (x)=k2x

所以(σ1+σ2)(x)=(k1+k2)x 所以(σ1+σ2)属于U

任意σ1属于U m属于F

对于任意x属于V有σ1 (x)=nx

所以(mσ1)(x)=(mn)x 所以(mσ1)属于U

U非空，对加法封闭，对数乘封闭，所以U关于通常的线性变换的加法与数量乘积是F上的线性空间。

扩展资料：

在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。

譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

线性空间是在考察了大量的数学对象(如几何学与物理学中的向量，代数学中的n元向量、矩阵、多项式，分析学中的函数等)的本质属性后抽象出来的数学概念，近代数学中不少的研究对象，如赋范线性空间、模等都与线性空间有着密切的关系。

它的理论与方法已经渗透到自然科学、工程技术的许多领域。哈密顿首先引进向量一词，并开创了向量理论和向量计算。格拉斯曼最早提出多维欧几里得空间的系统理论。

1844—1847年，他与柯西分别提出了脱离一切空间直观的、成为一个纯粹数学概念的、抽象的n维空间。特普利茨将线性代数的主要定理推广到任意域上的一般的线性空间中。