Question

在RT三角形ABC中,∠ACB等于90°,CD垂直与AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F,求证CE=CF

详细

Answer 1

（1）根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF，

（2）根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′=DE，再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根据等量代换可知BE′=CF．

（1）证明：∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF=∠EAD，

∵∠ACB=90°，

∴∠CAF+∠CFA=90°，

∵CD⊥AB于D，

∴∠EAD+AED=90°，

∴∠CFA=∠AED，

∵∠AED=∠CEF，

∴∠CFA=∠CEF，

∴CE=CF；

（2）BE′=CF．

证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，

又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，

∴ED=EG．

由平移的性质可知：D′E′=DE，

∴D′E′=GE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠DCB=90°

∵CD⊥AB于D，

∴∠B+∠DCB=90°，

∴∠ACD=∠B，

在Rt△CEG与Rt△BE′D′中， ，

∴△CEG≌△BE′D′，

∴CE=BE′，

由（1）可知CE=CF，

∴BE′=CF．

Answer 2

∠CEF=∠AED=90-∠FAB=90-1/2∠CAB
∠CFE=90-∠CAF=90-1/2∠CAB
∠CFE=∠CEF
△CFE为等腰三角形
CE=CF

Answer 3

证明：先利用等角的余角相等：因为∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°所以∠ACD=∠B，由已知AF平分∠CAB，所以∠CAF=∠BAF,再利用三角形外角和定理得：
∠CEF=∠ACD+∠CAF,
∠CFE=∠B+∠BAF,
所以∠CFE=∠CEF，∴CE=CF

Answer 4

∠CEF=∠ECA+∠A/2（外角和定理）=(90-∠A)+∠A/2=90-∠A/2
∠CFE=90-∠A/2 (三角形ACF是直角三角形）

∴∠CEF=∠CFE ∴CE=CF