Question

已知函数f(x)=（a+1)lnx+ax^2+1 （1）.讨论单调性

已知函数f(x)=（a+1)lnx+ax^2+1 （1）.讨论单调性
2.设a≤-2,证明，对任意X1，x2∈（0，+∞),/f(x1)-f(x2)≥/4/x1-x2/

Answer 1

（1）
f(x)=（a+1)lnx+ax^2+1
得到定义域：x>0
求导：f’(x)=(a+1)/ x+2ax

当a≥0时，f’(x) >0,则f(x)单调递增
当a≤-1时，f’(x) <0，则f(x)单调递减
当-1<a<0时：
设g(x)=xf’(x)=2ax^2+a+1,
∵x>0;∴g(x)和f’(x)同号。
此时当x≥√(-(a+1)/2a)时，g(x)≥0，则f’(x)≥0，那么f(x)单调递增
此时当0<x<√(-(a+1)/2a)时，g(x)<0，则f’(x)<0，那么f(x)单调递减.

至此f(x)的单调性讨论完毕。

（2）
- f’(x)= -(a+1)/ x-2ax≥2√(2a(a+1))
∵a≤-2
∴2√(2a(a+1)) ≥4
又∵a≤-2
∴f’(x)<0; - f’(x)>0; - f’(x)=| f’(x)|
从而得到：| f’(x)| ≥4

由拉格朗日中值定理得到：
在（x1,x2）之间存在一点ξ，成立式子：
|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|=|f’(ξ)|
因为任意x有| f’(x)| ≥4，那么就有| f’(ξ)| ≥4
所以得到：
|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|≥4
也就得证：
|f(x1)-f(x2)| ≥4|x1-x2|；