Question

已知三角形ABC的三个内角A,B,C的对边依次是a,b,c,A=60度,4cos2C-cos2B=3

1 若三角形面积为2分之根3,求b,c的值
2,证明无论a,b,c取何值都为直角三角形

Answer 1

4cos2C-cos2B=3
4(1-2sin^2C)-(1-2sin^2B)=3
sin^2B=4sin^2C
由于A,B,C都是三角形的内角,故sinB>0,sinC>0
故有sinB=2sinC
即有b=2c
S=1/2bcsinA
根号3/2=1/2*2c^2*根号3/2
c^2=1,c=1,即有b=2.
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA=4c^2+c^2-2*2c^2*1/2=3c^2
所以有a^2+c^2=b^2
故三角形是直角三角形.

Answer 2

解：∵A=60度,4cos2C-cos2B=3，∴4cos[2﹙180°-A-B﹚]-cos2B=3,
即4cos(240°-2B)-cos2B=3,
展开，合并得3cos2B+2·根号3·sin2B+3=0,约掉根3，得2sin2B+根3（1+cos2B)=0,
用上二倍角公式，得cosB·(2sinB+根3cosB)=0,∴cosB=0或2sinB+根3cosB=0，
又∵A=60°，∴B﹤120°,∴tanB﹤-根3，
而由2sinB+根3cosB=0，得tanB=-2分之根3，这是不成立的，∴cosB=0成立，得B=90°.
又三角形面积为2分之根3，知½ bcsinA=2分之根3, ∴bc=2,再C=30°,∴b=2c
∴c=1,b=2