Question

如图，在三角形ABC中，AD平分角BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC延长线于...

如图，在三角形ABC中，AD平分角BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC延长线于F，求：FD的平方=FB•FC

Answer 1

证明：连接AF
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵EF垂直平分AD
∴FA＝FD
∴∠FAD＝∠FDA
∵∠FCA＝∠FDA+∠CAD，∠FAB＝∠FAD+∠BAD
∴∠FCA＝∠FAB
∵∠AFC＝∠BFA
∴△AFC∽△BFA
∴FA/FC＝FB/FA
∴FA²=FB•FC
∴FD²=FB•FC

Answer 2

连接AF，
∵EF垂直平分AD
∴FD=AF
∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠ADF
∵AD平分角BAC
∴∠BAD=∠DAC
∵∠ADF=∠B+∠BAD
∴∠B+∠BAD=∠FAC+∠DAC
∴∠B=∠FAC
在△AFC和△AFB中
∠B=∠FAC
∠AFC=∠AFB
∴△AFC∽△AFB
∴AF/FB=FC/AF
即AF²=FB•FC
∴FD²==FB•FC