Question

已知:如图AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°,M是AC的中点,,AD⊥BM，垂足为F，试说明：∠AMB=∠CMD

快！~~~

Answer 1

证明：作角BAC的角平分线AE交BM于E
所以角BAE=角EAM=1/2角BAC
因为角ABC=角ACB=45度
因为角ABC+角ACB+角BAC=180度
所以角BAC=角BAM=90度
所以角BAE=角EAM=45度
所以角BAE=角ACB=45度
因为角BAM+角ABM+角AMB=180度
所以角ABM+角AMB=90度
因为AD垂直BM
所以角AFM=90度
因为角AFM+角FAM+角AMB=180度
所以角FAM+角AMB=90度
所以角FAM+角AMB=角ABM+角AMB=90度
所以角ABM=角FAM
因为AB=AC
所以三角形ABE和三角形CAD全等（ASA)
所以：AE=DM
因为M是AC的中点
所以AM=CM
角EAM=角DCM=45度（已证）
所以三角形AEM和三角形CDM全等（SAS)
所以角AMB=角CMD

Answer 2

证明：
过C作CE//AB交AD的延长线于E
因为∠ABC=∠ACB=45°
所以∠BAC＝90°
所以∠BAF＋∠MAF＝90，
因为∠BAF＋∠ABF＝90
所以∠ABF＝∠MAF
因为CE//AB，∠BAC＝90
所以∠ACE＝90
又因为AB＝AC
所以△BAM≌△ACE（ASA）
所以AM＝CE，∠AMB＝∠E
因为M是AC的中点
所以AM＝CM
所以CM＝CE
因为∠ACE＝90，∠ACB＝45
所以∠ACB＝∠BCE＝45
又因为CD＝CD
所以△MCD≌△ECD（SAS）
所以∠CMD＝∠E
所以∠AMB=∠CMD