Question

如图，直线y=2x+4的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OAB绕点O按顺时针方向旋转90°得到△OCD

（1）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式。
（2）点P是第一象限内抛物线上的一点，是否存在这样的点P，使得P到直线CD的距离最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（图在2006年四川中考数学代数几何汇编第9页，21题。只需回答第二问，谢谢。）

Answer 1

解：(1)由题意，可以求得A（-2,0）,B(0,4)
把△OAB绕点O按顺时针方向旋转90°得到△OCD
可以求得C(0,2),D(4,0),
设抛物线的方程为y=ax^2+bx+c，该抛物线经过点A,B,D.
代入这三个点求得a=-1/2,b=1,c=4
设抛物线的方程为y=(-1/2)x^2+x+4
(2) 求得直线CD的方程为y=(-1/2)x+2
设过P点且平行于直线CD的直线的方程g=(-1/2)x+b,
只要直线与抛物线相切，则切点即为P点的坐标，
所以 y=g ， (-1/2)x^2+x+4=(-1/2)x+b
整理得 (-1/2)x^2+(3/2)x+4-b=0,令该二元一次方程的判别式为零
判别式=3^2+4（8-2b）=0，解得b=41/8,
所以，过P点且平行于直线CD的直线的方程g=(-1/2)x+41/8。
所以令 y=g，(-1/2)x^2+x+4 = (-1/2)x+41/8
解得x=-3/2,代入以上方程g=(-1/2)x+41/8，( 或代入抛物线方程y=(-1/2)x^2+x+4 )中
得y=47/8,P点存在，其坐标为P(-3/2,47/8)

Answer 2