Question

高中数学问题。要具体解题过程。

对数列｛an｝，如果Шk∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使an+k=λ1an+k-1＋λ2an+k-2＋…＋λkan成立，其中n∈N*，则称｛an｝为k阶递归数列，给出下列三个结论：
①若｛an｝是等比数列，则｛an｝为1阶递归数列；
②若｛an｝是等差数列，则｛an｝为2阶递归数列；
③若数列｛an｝的通项公式为an=n2，则｛an｝为3阶递归数列。
其中，正确结论的个数是（ ）。

Answer 1

是“2” ①②正解，③不正确
解：
①an=qan=λ1*an
②根据定义：an+2-an+1=an+1-an 所以an+2=2*an+1+(-1)*an(λ1=2,λ2=-1)
③假设命题为真：左边是一个三次多项式，而右边是一个二次多项式，三次多项式是不可能和二
次式项式恒等。

Answer 2

正确结论个数为3个。要判断结论是否正确，实际上就是在判断λ1，λ2，…，λk∈R的存在性即是否存在。
首先看第一个结论。
一、若｛an｝是等比数列，则｛an｝为1阶递归数列。
那我们就不妨假设该结论是对的，然后判断λ1，λ2，…，λk∈R的存在性。那么有a(n+1)=λ1a(n)。由与｛an｝是等比数列，则由等比数列的性质，可知通项公式a(n)=a(1)q^(n-1) （q为公比），则可知，λ1=a(n+1)/a(n)=q，又因为q是一定存在的（等比数列的性质），所以可知第一个结论正确。
再看第二个结论。
二、若｛an｝是等差数列，则｛an｝为2阶递归数列
还是不妨假设上述结论是对的。则由等差数列的性质可得数列｛an｝的通项公式为a(n)=a(1)+(n-1)d （d为公差）。在有既定结论，则有a(n+2)=λ1a(n+1)+λ2a(n)。
由通项公式，就可知a(n+2)=a(1)+(n+1)d，a(n+1)=a(1)+nd，a(n)=a(1)+(n-1)d。
将a(n+2)、a(n+1)、a(n)分别代入a(n+2)=λ1a(n+1)+λ2a(n)中，合并同类项后，得
a(1)+(n+1)d=(λ1+λ2)a(1)+[n(λ1+λ2)-λ2]d
则根据恒等式的知识，等式两边未知项a(1)的系数应相等，同理于未知项d。可得方程组
①λ1+λ2=1
②n+1=n(λ1+λ2)-λ2
则可解得
λ1=2， λ2=-1
所以第二个结论也是正确的
最后看第三个结论
三、若数列｛an｝的通项公式为an=n^2，则｛an｝为3阶递归数列
还是不妨假设结论正确。则有a(n+3)=λ1a(n+2)+λ2a(n+1)+λ3a(n)
由于既定结论中已经给出了通项公式，则可知a(n+3)=(n+3)^2，a(n+2)=(n+2)^2，a(n+1)=(n+1)^2
代入a(n+3)=λ1a(n+2)+λ2a(n+1)+λ3a(n)中，展开完全平方项，合并同类项，整理后，得
n^2 + 6n + 9 =(λ1+λ2+λ3)n^2 + (4λ1 + 2λ2)n + 4λ1 + λ2
依旧是根据恒等式原理，未知项系数等式两边要对应相等，常数项也要相等。
得方程组
①λ1+λ2+λ3 = 1
②4λ1 + 2λ2 = 6
③4λ1 + λ2 = 9
解，得
λ1=3，λ2= -3，λ3=1
所以知第三条结论依然正确。
所以正确结论的个数是3个

Answer 3

布吉岛

Answer 4

不知道，