在正方形ABCD中,E、F分别是CD、AD的中点,AE、BF相交于P,求证:CP=CB
在正方形ABCD中,E、F分别是CD、AD的中点,AE、BF相交于P,求证:CP=CB不用四点共圆,用八下同学能理解的方法解,拜托了各位!!急啊!!...
在正方形ABCD中,E、F分别是CD、AD的中点,AE、BF相交于P,求证:CP=CB
不用四点共圆,用八下同学能理解的方法解,拜托了各位!!急啊!! 展开
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东莞大凡
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由BA=AD,角A=角D=90度,AF=DE=1/2AD,得三角形BAF≌三角形ADE,所以角ABF+角AFB=90度=角DAE+角AFB=角APB,所以AE⊥BF。过C作CT垂直BF于T,延长CT交AB于V。有AE//CV,所以角CVB=角EAB=角AEB,且角B=角D,CB=AD,三角形CBV≌三角形ADE(AAS)所以VB=DE=1/2DC=1/2AB,由于TV//AP,所以TB=1/2PB,TB=TP,又CT⊥PB,由等腰三角形三线合一的性质,知CP=CB
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以正方形一个顶点作为原点,建立直角坐标系,同时设正方形边长为单位1,则可以根据两点间距离公式计算出CP和CB的长度。对于正方形这种很规则的图形,如果涉及到边的运算,用坐标系没有搞不定的。以此类推,正方体的问题用三维立体坐标是通解。
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证明:
取ab的中点g,连接dg,交ae于h
∵四边形abcd是正方形
∴ab=bc=cd,∠abe=∠bcf=90º
∵e,f分别是bc,cd的中点
∴be=cf
∴⊿abe≌⊿bcf(sas)
∴∠bae=∠cbf
∵∠bae+∠bea=90º
∴∠apb=∠cbf+∠bep=90º
∵bg=df,bg//df
∴四边形bfdg是平行四边形
∴bf//gd
∴∠ahg=∠apb=90º
∵ag=bg
∴ah=ph【平行线等分线段定理】
∴dg垂直平分ap
∴ad=pd【垂直平分线上的点到线段两端的距离相等】
取ab的中点g,连接dg,交ae于h
∵四边形abcd是正方形
∴ab=bc=cd,∠abe=∠bcf=90º
∵e,f分别是bc,cd的中点
∴be=cf
∴⊿abe≌⊿bcf(sas)
∴∠bae=∠cbf
∵∠bae+∠bea=90º
∴∠apb=∠cbf+∠bep=90º
∵bg=df,bg//df
∴四边形bfdg是平行四边形
∴bf//gd
∴∠ahg=∠apb=90º
∵ag=bg
∴ah=ph【平行线等分线段定理】
∴dg垂直平分ap
∴ad=pd【垂直平分线上的点到线段两端的距离相等】
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证明:
取ab的中点g,连接dg,交ae于h
∵四边形abcd是正方形
∴ab=bc=cd,∠abe=∠bcf=90º
∵e,f分别是bc,cd的中点
∴be=cf
∴⊿abe≌⊿bcf(sas)
∴∠bae=∠cbf
∵∠bae+∠bea=90º
∴∠apb=∠cbf+∠bep=90º
∵bg=df,bg//df
∴四边形bfdg是平行四边形
∴bf//gd
∴∠ahg=∠apb=90º
∵ag=bg
∴ah=ph【平行线等分线段定理】
∴dg垂直平分ap
∴ad=pd【垂直平分线上的点到线段两端的距离相等】
取ab的中点g,连接dg,交ae于h
∵四边形abcd是正方形
∴ab=bc=cd,∠abe=∠bcf=90º
∵e,f分别是bc,cd的中点
∴be=cf
∴⊿abe≌⊿bcf(sas)
∴∠bae=∠cbf
∵∠bae+∠bea=90º
∴∠apb=∠cbf+∠bep=90º
∵bg=df,bg//df
∴四边形bfdg是平行四边形
∴bf//gd
∴∠ahg=∠apb=90º
∵ag=bg
∴ah=ph【平行线等分线段定理】
∴dg垂直平分ap
∴ad=pd【垂直平分线上的点到线段两端的距离相等】
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