Question

我们知道，因为y=sinx在x∈[-π/2,π/2]上y与x一一对应，所以定义了它的反函数为y=arcsinx

我们知道，因为y=sinx在x∈[-π/2,π/2]上y与x一一对应，所以定义了它的反函数为y=arcsinx,x∈[-1,1],但是y=sinx.x∈R中，满足一一对应的区间并不只有x∈[-π/2,π/2]，如果我们另取一个它的一一对应区间来定义它的反函数又会怎样呢？

定义：函数y=sinx,x∈[π/2,3π/2]的反函数叫反正弦函数，记作y=antsinx,x∈[-1,1],试写出这个函数的性质和图像（不必证明），并根据你的研究结果求下列各值

antsin1/2=__________,

antsin(-√2/2)=_________

Answer 1

令x=antsin1/2，那么：sinx=1/2>0，所以角x是第二象限角。
而sin(5π/6)=sin(π/6)=1/2，且5π/6∈[π/2,3π/2]
所以：
antsin1/2=__5π/6__；

令x=antsin(-√2/2)，那么：sinx=-√2/2<0，所以可知角x是第三象限角
而sin(5π/4)=sin(π + π/4)=-sin(π/4)=-√2/2，且5π/4∈[π/2,3π/2]
所以：antsin(-√2/2)=__5π/4__

追问

非常感谢你的回答！忘了一小题：当x∈[-1,1]时，antsinx+antsin(-x)=_____________.
另外，能否分析一下：函数y=sinx,x∈[π/2,3π/2]的反函数叫反正弦函数，记作y=antsinx,x∈[-1,1],试写出这个函数的性质和图像（不必证明）。
为表谢意，可另加30分。
期望你的指导。
方便的话，可回答：http://zhidao.baidu.com/question/426339424.html?quesup2&oldq=1
同样加分，谢谢！

追答

由题意不妨设x≥0，令α=antsinx，则sinα=x，且α∈[π/2,π]
所以：-α∈[-π,-π/2]，即有：2π-α∈[π,3π/2]
此时sin(2π-α)=-sinα=-x，那么：antsin(-x)=2π-α
所以：antsinx+antsin(-x)=α+2π-α=2π

至于函数y=sinx,x∈[π/2,3π/2]的反函数叫反正弦函数，记作y=antsinx,x∈[-1,1],试写出函数y=antsinx,x∈[-1,1]的性质和图像。
不妨可以参考正弦函数y=sinx,在x∈[π/2,3π/2]上的图像和性质
首先利用五点法作图，作出y=sinx,在x∈[π/2,3π/2]上的图像，由于函数与其反函数的图像关于直线y=x对称，所以可以将关键五点对应的在其反函数图像上的对称点作出，再依次利用光滑曲线连结，所成就是函数y=antsinx,x∈[-1,1]上的图像。
如果图像能作出，那么讨论性质应该就不难了哈：
包括 定义域、值域（最值）、单调性等等。

Answer 2

嫦娥一号

Answer 3

上面正解。