Question

（1）如图1所示

在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上的一点，N是∠DCP的平分线上的一点，若∠AMN=90°，求证AM=MN。
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明。
证明：在AB上截取AE=MC，连接ME。在正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°∴∠NMC=180°－∠AMN－∠AMB=180°－∠B－∠AMB=∠MAB.下面请你完成余下的证明过程。（在同一三角形中，等边对等角）
（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2所示），N是∠ACP的角平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由。
（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD……X”，请你做出猜想：当∠AMN=___时，结论AM=MN仍然成立。（直接写出答案，不需要证明）。

Answer 1

（1）证明：∵AE=MC，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠EMB=45°，
∴∠AEM=135°，
∵CN平分∠DCP，
∴∠PCN=45°，
∴∠AEM=∠MCN=135°
由三角形外角的性质可知，∠AMP=∠ABM+∠EAM，即∠AMN+∠CMN=∠ABM+∠EAM，
∵∠AMN=∠ABM=90°，∴∠CMN=∠EAM，
在△AEM和△MCN中：
∵ ∠AEM=∠MCN AE=MC ∠EAM=∠CMN ∴△AEM≌△MCN，
∴AM=MN；

（2）结论：仍然成立．
证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACP=120°，
∵AE=MC，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠EMB=60°，
∴∠AEM=120°，
∵CN平分∠ACP，
∴∠PCN=60°，
∴∠AEM=∠MCN=120°，
∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM，
∴△AEM≌△MCN，
∴AM=MN．