Question

设m,n为整数，m＞2，证明：（2^m—1）不能整除（2^n+1）。 【即证明2的m次方减一不能整除2的n次方减一。

Answer 1

显然n>m

设n=km+r, 0<r<m

(2^m-1, 2^n+1)=(2^m-1, 2^(km+r) +1)

=( 2^m-1, (2^m- 1+1)^k *2^r +1 )

=(2^m-1, 2^r+1 )<=2^r+1<2^m-1

所以(2^m-1, 2^n+1) !=　2^m -1

因此　2^m -1不可能整除　2^n +1

基本性质

①若b|a，c|a，且b和c互质，则bc|a。

②对任意非零整数a，±a|a=±1。

③若a|b，b|a，则|a|=|b|。

④如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。

⑤对任意整数a，b>0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r带余除法定理，是整除理论的基础。

Answer 2

显然n>m
设n=km+r, 0<r<m
(2^m-1, 2^n+1)=(2^m-1, 2^(km+r) +1)
=( 2^m-1, (2^m- 1+1)^k *2^r +1 )
=(2^m-1, 2^r+1 )<=2^r+1<2^m-1
所以(2^m-1, 2^n+1) !=　2^m -1
因此　2^m -1不可能整除　2^n +1