Question

设数列{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与1的等差中

项等于Sn于1的等比中项，求数列{an}的通项公式

Answer 1

由题意知：[(1+an)/2]^2=1×Sn，即：Sn=[(1+an)^2]/4 ①
当n=1时，a1=S1=[(1+a1)^2]/4，所以(1-a1)^2=0，所以a1=1
当n≥2时，S(n-1)={[1+a(n-1)]^2}/4 ②
①-②，得Sn-S(n-1)=[(1+an)^2]/4-{[1+a(n-1)]^2}/4
而Sn-S(n-1)=an，所以[(1+an)^2]/4-{[1+a(n-1)]^2}/4=an，
化简得：[an+a(n-1)]×[an-a(n-1)-2]=0
因为数列{an}是正数组成的数列，即an>0，a(n-1)>0
所以an+a(n-1)>0，所以an-a(n-1)-2=0，则an-a(n-1)=2，为常数
所以数列an是以1为首项、2为公差的等差数列
an的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1 (n∈N+)

Answer 2

解：
由题意得
(an +1)/2=√(Sn×1)
Sn=[(an +1)/2]²
n=1时，S1=a1=[(a1+1)/2]²，整理，得
(a1-1)²=0
a1=1
n≥2时，
Sn=[(an +1)/2]² S(n-1)=[(a(n-1) +1)/2]²
Sn-S(n-1)=an=[(an+1)/2]²-[(a(n-1)+1)/2]²
4an=an²+2an+1-[a(n-1)+1]²
(an -1)²-[a(n-1)+1]²=0
[an-1+a(n-1)+1][an -1-a(n-1)-1]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
数列是正数数列，an+a(n-1)>0，要等式成立，只有an-a(n-1)=2，为定值。
数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
an=1+2(n-1)=2n-1
数列{an}的通项公式为an=2n-1。

Answer 3

(1)[a(n) 2]^2=8s(n),
[a(1) 2]^2=8s(1)=8a(1),[a(1)-2]^2=0,a(1)=2.
[a(2) 2]^2=8s(2)=8[a(1) a(2)],[a(2)-2]^2=8a(1)=16,a(2)>=2时,a(2)-2=4,a(2)=6,
0<a(2)<2时,a(2)-2=-4,a(2)=-2,矛盾。因此，a(2)=6.
[a(3) 2]^2=8s(3)=8[a(1) a(2) a(3)], [a(3)-2]^2=8[a(1) a(2)]=64,a(3)>=2时，a(3)-2=8,a(3)=10.
0<a(3)<2时，a(3)-2=-8,a(3)=-6,矛盾。因此，a(3)=10.
(2）8a1=(a1 2)^2
得a1=2
8Sn==（an 2）^2①
8S(n-1)=(a(n-1) 2)^2②
①-②得8an=an^2-a(n-1)^2 4an-4a(n-1)
[an-a(n-1)-4](an a(n-1))=0
因为an a(n-1)≠0
所以an-a(n-1)-4=0
即an-a(n-1)=4
用累加法得an=4n-2