Question

大学数学线性代数与解析几何

请教证明过程，谢谢！

Answer 1

必要性。设a1...an无关。反证法。设有两个线性组合，使得
k1 a1+...+kn an=u1 a1+...+un an, ki 与 ui不全相等，则
(k1-u1)a1+...(kn-un)an=0, 其中 某个(ki-ui)不等于0,
则ai可由其余向量线性表示，与无关矛盾。

充分性。反证法。
若相关，则某个ai可由其余向量线性表示。设
ai=k1 a1+...0 ai+.....+kn an
则 ai=0.5 ai+0.5(k1 a1+...0 ai+.....+kn an)
=0.5 k1 a1+...0.5 ai+.....+0.5 kn an,
与ai线性表示唯一矛盾。