Question

高中物理功和能

如图所示，轻质长绳水平地跨在相距为2L的两个小定滑轮A、B上，质量为m的物块悬挂在绳上O点，O与A、B两滑轮的距离相等。在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F=mg。先托住物块，使绳处于水平拉直状态，由静止释放物块，在物块下落过程中，保持C、D两端的拉力F不变。（1）当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零？（2）在物块下落上述距离的过程中，克服C端恒力F做功W为多少？（3）求物块下落过程中的最大速度Vm和最大距离H？

我的问题是：将题目中的C,D端F=mg，改为质量为m的两个小物体 。
不要答非所问，谢谢！！！！！！！！！！！

Answer 1

拉力为恒定 mg 的时候，这些都好算，对吧？
改为两个质量 m 的物体，就相当地不好算了，基本上找不出解析解来
为了讨论方便，我们把三个物体称作:
A/B, 分别代表 A/B 端下悬挂的质量为 m 的物体
M, 代表中间质量为 m 的物块

1) 就不好算了。过程中，因为 A, B, M 都是加速运动，且加速度不恒定，所以，绳上的张力 T 肯定不等于 mg (都要比 mg 小, 因为要提供 A, B 向上加速运动的驱动力)。如果你列微分方程去算..... 99.99%保证你算不出来......
好吧，你会这样假定：过程中，越接近静力平衡点，A/B/M 的加速度就越小..... 在静力平衡点上，三者的加速度都是 0..... 从而得出，M 的加速度为 0 的点，就是静力平衡点.....

但是，这是不对的。我们假定 M 悬挂点 X, 从 O 开始，向下的位移为 x = x(t), 这里 x(t) 是提醒自己，x 是时间 t 的函数；而 A 从初始点向上移动的位移为 y, 显然有
y = sqrt (x^2 + L^2) - L
适当选取坐标位置和零点，我们可以简化成
y = sqrt (x^2 + L^2)
然后，关于速度, A 的速度我们记作 v2 = dy/dt = dy/dx * dx/dt, 这里为了不混淆求导变量，我们用 df/dt 的方式来表示导数，而不是 f', y', ..... dx/dt 也就是 M 的速度，我们记作 v1

v2 = dy/dt * v1 = x/sqrt(x^2 + L^2) * v1 = v1 sinθ
这里 θ 是绳子和水平线的夹角..... 看上去很好，很合理，对吧？

接下来，我们看看加速度，也就是把 v2 对时间 t 求导
a2 = dv2/dt = v1 * (x/sqrt(x^2 + L^2)
为方便，我们设 f = x/sqrt(x^2 + L^2) = sinθ
a2 = dv2/dt = dv1/dt * sinθ + v1* df/dt
这里，我们看到
a2 = a1 * sinθ + .....
它并不是 a1 的“矢量分解"!, 不是任何矢量，都能随便“矢量分解”，然后认为，“垂直于绳子方向上的矢量，对绳子平行方向上的物理过程没有贡献.......”

最后，我们把 "多余" 的那个 v1*df/dt 计算出来，它是：
v1*df/dt = v1 * df/dx * dx/dt = v1^2 * df/dx
= v1^2 * L^2/(x^2 + L^2) /sqrt(x^2 + L^2)
= v1^2 * (cosθ)^2 /sqrt(x^2 + L^2)
检查一下，至少量纲是对的......
显然，在 v1 不为 0 的时候，它并不是 0 .....

于是，我们只有另辟蹊径...... 利用功能原理..... 然而这并不那么简单......
好吧，如果你追问，我看看能不能利用功能原理列出一个算法，但估计，列出来也不好算..... 应该会比较繁琐..... 但到现在为止，我们就大量采用导数计算..... 很多极值问题并不直观，恐怕会用更多的导数和二阶导数来算。而且就算用导数和二阶导数，也未必好算.......甚至可能没有解析解.......