Question

一道函数难题，求速解

已知函数f(x)=x^3-tx-ln(√（x^2+1）-x),对于任意实数a、b（a+b≠0），都有（f(a)+f(b)）/（a^3+b^3）＜1，则实数t的取值范围

Answer 1

易知f(x)是奇函数。令a=0，得不等式为f(b)/b^3<1对所有的b>0成立，即
b^3--tb+ln(√（b^2+1）+b)<b^3对所有的b>0成立，因此
g(b)=--tb+ln(√（b^2+1）+b)满足g'(b)=--t+1/√（b^2+1）<=0总成立，
于是t>=1。下面证明当t>=1时条件不等式成立。
不妨设b+a>0(b+a<0由于f(x)是奇函数容易类似证明）。
考虑h(x)=x^3+a^3--f(a)--f(x)，x>--a，已经知道h(--a)=0，
h'(x)=t--1/√（x^2+1）>0，故h(x)是严格递增函数，
于是h(x)在x>--a时有h(x)>h(--a)=0，于是有
h(b)>h(--a)=0，即得要证不等式成立。

追问

为什么是奇函数

追答

你验证一下啊。x^3--tx是奇函数，ln(√（x^2+1）-x)+ln(√（(-x)^2+1）+x)=ln1=0，因此最后一项也是奇函数，差函数就是奇函数了。

追问

得不等式为f(b)/b^30成立，这是为什么，最后结果是多少？

追答

你问这么难的题，难道自己就没有计算过吗？总得到一些结果了吧？
条件是对所有的a，b都成立，我现在只是找出一部分：a=0，b>0这一部分，当然也得成立了。
f(b)/b^30成立，你把表达式代入得到t>=1啊。

追问

当然算了，确认一下嘛