Question

求解一道高中数学数列问题！

数列{an}与{bn}满足a1=2,bn=an+a(n+1),且{bn}的前n项和Sn=n(n+1)/2,求数列{an}的前2n项和T2n. 注:a(n+1)中的n+1是指坐标值之和！

Answer 1

通过{bn}的前n项和 Sn=n(n+1)/2 可知 数列{bn}为以1开头,公差为1的等差数列. 所以b1=1,b2=2.....
那么bn = n
n = an + a(n+1)
那么a1+a2 = 1 a3+a4 = 3 ....可以把每两项看成一项,即 a1+a2 =c1
a3+a4 =c2, 那么 数列{cn}的前n项和就是数列an的前2n项和.
而且由上述关系, 可知c1=1 c2=3 c3=5....所以数列cn是一个由1开头,公差为2的等差数列 末项为2n-1
所以Scn=n(1+2n-1)/2 = n^2
所以T2n=Scn = n^2

注 n^2 为n的平方

Answer 2

bn=Sn-S(n-1)=n (n>=2) b1=S1=1 ==> bn=n (n>=1)
T2n=a1+a2+...+a2n=(a1+a2)+(a3+a4)+...+(a(2n-1)+a2n)=b1+b3+b5+...+b(2n-1)=1+3+5+...+(2n-1)=n^2