Question

已知在等比数列{an}中，首相a1=2012，公比q=-1/2，记Tn为它的前n项之积，则Tn最大时，正整数n的值为？

Answer 1

Tn最大，则一定为正，Tn=a^n*（-1/2）^(n(n-1)/2)，则n(n-1)/2被2整出，故n被4整除。 由此，n-2项与第n相均为负，其乘积取正，则需要满足，a(n-2)*an>=1。
a(n-2)*an=2012^2*（1/2）^(2n-4)<2048^2*(1/2）^(2n-4)=2^(26-2n)<=1=2^0
则，26-2n>0,n<13.又n为偶数，因而n=12。 即前12项乘积最大，为Tn=2012^12*（1/2）^66<2^54.不知道看得懂不，呵呵符号有点肯跌；
另外一种方法,由于n被4整除，则连续4相的乘积一定>1,只有这样才能使得Tn最大，a(n-3)a(n-2)a(n-1)an>1,即2012^4*（1/2）^(4n-6)>1.于是2048^4*（1/2）^(4n-6)>1,推出25/2>n,n为整数，n=12.

追问

为什么“n(n-1)/2被2整除”？

追答

这个简单啊，因而第一项为正，第二项为负，第三项为正，第四项为负，如果不被2整出，岂不Tn中有2个相邻项乘在一块，那么就出现负值了哦。
或者另一种回答，Tn=a^n*（-1/2）^(n(n-1)/2)，如果n(n-1)/2不被2整除，就是个奇数，-1/2的奇数次方还是负数的，与Tn为正矛盾，因而只能被2整除

追问

为什么“n(n-1)/2被2整除”之后就能得出“n被4整除”，而不是“(n-1)被4整除”呢？

追答

n是偶数，n-1就是奇数，因而n-1不被4整除。
当然如果用n-1去计算也是一个道理，我懂你的意思，（n-1）/2为偶数整除2，计算是一个道理。
你可以自己按照上述思路去推到下可能会有别的收获。