Question

等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为sn,{bn}是等比数列,b1=1,且b2S2=64，b3S3=960

记cn=1/an an+1 ，求证：c1+c2+……+cn<1/6

Answer 1

设数列{an}的公差为d、数列{bn}的公比为q。
S2=d+6、S3=3d+9、b2=q、b3=q^2。
b2S2=q(d+6)=64 (1)、b3S3=q^2(3d+9)=960 (2)
(1)^2/(2)得：(d+6)^2/(3d+9)=64/15、5(d^2+12d+36)=64(d+3)。
5d^2-4d-12=0，d=2或d=-6/5。
由题意知，d>0，所以d=2。
q(2+6)=64、q=8。
an=3+2(n-1)=2n+1、bn=8^(n-1)
cn=1/[ana(n+1)]=1/[(2n+1)(2n+3)]=(1/2)[1/(2n+1)-1/(2n+3)]。
c1+c2+…+cn=(1/2)[1/3-1/5+1/5-1/7+…+1/(2n+1)-1/(2n+3)]=(1/2)[(1/3-1/(2n+3)]<(1/2)*(1/3)=1/6。