Question

设不等式组 x＞0 y＞0 y≤-nx+3n ,所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点个数为f(n)

设Sn为数列bn的前n项的和，其中bn=2^f(n)，问是否存在正整数n，t，使Sn-tbn/Sn+1-tbn+1<1/16成立，若存在，求出正整数n，t；若不存在，说明理由

Answer 1

先求出f(n)=3n：y=-nx+3n在x轴上的截距是3。x=1时，1≤y≤2n，有2n个格点。x=2时，1≤y≤n，有n个格点。所以f(n)=3n。
bn＝8^n，Sn＝8/7×(8^n - 1)，Sn-t*bn=8/7×(8^n - 1)-t*8^n=(8-7t)*8^n/7 - 8/7，由(Sn-t*bn)/(S(n+1)-t*b(n+1))＜1/16得1＜(8-7t)*8^n＜15，所以8-7t＞0，所以t＝1，那么n=1