Question

如图，△ABC为等边三角形，将边AB绕A点逆时针方向旋转α，（60°＜α＜180°）至AD，连BD，交AC于E.

（1）如图，当α＝90°时，连CD，求证: DE=DC；
（2）如图，作∠CAD的平分线，交ED于F，当α变化时，请你探究线段AF、FD、BF之间是否存在确定的数量关系，证明你的判断。
（3）在（1）条件下，探究AE/EC的值.要过程！

Answer 1

①∠CAD=30°

AD=AB=AC

∠ACD=∠ADC=75°

∠CED=∠CAD+∠ADB=75°=∠ACD

∴DE=EC

②

∠D=[180°-(60°+α)]/2=60°-α/2

∠AFB=∠DAF+∠D=60°

取GF=AF，连AG

则△AFG为正三角形

易证△ABG≌△ADF

∴BF=AF+FD

③

设EN=1

则ED=2，ND=√3，CN=2-√3

EM=√2，AE=2√2

EC=√[1²+(2-√3)²]=2√(2-√3)

AE/EC=√2/√(2-√3)=(2+√3)√(4-2√3)

 

简单写个思路，还请LZ完善

Answer 2

（1）∵∠BAD=α＝90°，AB=AD，∴△ABD为等腰RT△，∴∠ABD=∠ADB=45°。
∵∠BAD=90°，∠BAC=60°，∴∠CAD=30°；在△ACD中，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=75°。
在△ABE中，∠BAE=60°，∠ABE=45°，∴∠AEB=75°。∴∠CED=∠AEB=75°。
∴在△DCE中，∠DCE=∠CED=75°，∴DE=DC。

（2）在△ABD中，AB=AD，∠BAD=α，∴∠ADB=(180-α)/2。
AF为∠CAD的平分线，∴∠EAF=∠FAD=(α-60)/2。
∠AFB=∠ADB+∠FAD=(180-α)/2+(α-60)/2=60°。
过A点做AG⊥BD于G。
在RT△AGF中：GF=1/2AF；AG=√3/2.AF。
在RT△AGD中：GD=AG/tan∠ADB=(√3/2.AF)/tan∠ADB=√3AF/2.tan∠ADB。
FD=GD-GF=√3AF/2.tan∠ADB-1/2AF=(√3-tan∠ADB)AF/2.tan∠ADB；
BF=BG+GF=GD+GF=√3AF/2.tan∠ADB+1/2AF=(√3+tan∠ADB)AF/2.tan∠ADB；
∴AF：FD：BF=【AF】：【(√3-tan∠ADB)AF/2.tan∠ADB】：【(√3+tan∠ADB)AF/2.tan∠ADB】
=【1】：【(√3-tan∠ADB)/2.tan∠ADB】：【(√3+tan∠ADB)/2.tan∠ADB】
=【2.tan∠ADB】：【(√3-tan∠ADB)】：【(√3+tan∠ADB)】
=【2.tan(180-α)/2】：【(√3-tan(180-α)/2)】：【(√3+tan(180-α)/2】

（3）在图1中做AF⊥BD于F，设AB=√2，则AF=BF=1。
∠AEF=∠EAD+∠ADB=30°+45°=75°。在RT△AFE中，AE=AF/cos75°=1/cos75°。
EC=AC-AE=√2-1/cos75°。
∴AE/EC=【1/cos75°】/【√2-1/cos75°】
=1/【√2.cos75°-1】
做的好辛苦，给加分吧！

追问

第2问，没看懂！第1问，第3问正确！

追答

你画图，然后把解题过程抄一遍，慢慢研究嘛。用到正切了。
没办法当面讨论哦。别小气啊，给分！

追问

好啊 ，给你啊 ，又没说不给你，看你急的，我就是没看懂多问问你啊！