Question

高数问题划线部分求解

Answer 1

绕z轴旋转，相当于是画一个圆。即固定一个z值，z=z0，可以发现在平面z=z0与该旋转曲面的交线上的任一点，到原点的距离都是定值，而当z=z0时，x0^2=z0，从而在交线上的点(x,y,z)满足：x^2+y^2+z^2=x0^2+y0^2+z0^2=z0+z0^2，即x^2+y^2=z0^2（这时的z=z0），由于z0的任意性可知，旋转曲面的方程就是z=x^2+y^2.

追问

还是不太懂。能再通俗点吗

追答

比如直线y=x，绕y轴旋转一周所形成的曲面。

1. 固定一个y，即y=y0，该平面（y=y0）与旋转曲面相交，形成一交线，则此时的横坐标x=x0；

2. 交线上的任意一个点到原点的距离都相等，这是因为每一个点的y轴坐标都是y0，而由于直线绕着y轴旋转了一周，从而每一个点到y轴的距离都是相等的，那么交线上的每个点到原点的距离就是一样的了，就是x^2+y^2+z^2=x0^2+y0^2=2y0^2；

3. 由于交线上的y轴坐标是y0，则上式就是x^2+z^2=y0^2；

4. 由于y0的任意性，上式中的y0可以用y替换，就变成了曲面的方程：y^2=x^2+z^2.

这是顶点在原点的锥面。

追问

请问x^2+y^2+z^2是怎么一回事