Question

一道简单的初中数学题

已知抛物线与X轴交于A（-1，0）、B(3,0)，两点，与Y轴交于点C（0，3）。
（1）E是线段BC上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作ED⊥X轴于点D，交抛物线于点F。
1.写出在这条抛物线上以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形的F点坐标（说明理由）
2.求△CEF的边CE上的高的最大值，并求出此时△CEF的面积。

Answer 1

1.设方程y=ax^2+bx+c过A,B,C三点，将A,B,C三点坐标代入计算
0=a-b+c
0=9a+3b+c
3=0+0+c
求得方程为y=-x^2+2x+3
BC直线方程为y=-x+3
因为E是线段BC上的一个动点（与点B、C不重合），且ED⊥X轴
设E点坐标为（x, -x+3），则F点坐标为（x, -x^2+2x+3）,其中x不等于0和3
因为OC=OB,ED⊥X轴，所以<DBE=<BED=<CEF=45°
若△CEF为等腰直角三角形，则<ECF或<EFC应为90°
即CE^2+CF^2=EF^2，或CF^2+EF^2=CE^2
(1)当CE^2+CF^2=EF^2时，
[(0-x)^2+(3+x-3)^2]+[(0-x)^2+(3+x^2-2x-3)^2]=(x-x)^2+(-x+3+x^2-2x-3)^2
x1=1,
x2=0 (不符合x不等于0的条件，舍去)
则E(1,2),F(1,4)
(2)当CF^2+EF^2=CE^2时，
[(0-x)^2+(3+x-3)^2]+[(x-x)^2+(-x+3+x^2-2x-3)^2]=[(0-x)^2+(3+x^2-2x-3)^2]
x1=0 (不符合x不等于0的条件，舍去)
x2=3 (不符合x不等于3的条件，舍去)
x2=2 ,则F(2,3)
所以，F坐标为（1,4）或（2,3）

2.
即过F点作CE的垂直线FG并交CE于G点
BC方程为x+y-3=0，F点坐标为（x, -x^2+2x+3）
则FG距离h=|x-x^2+2x+3-3| /根号（1^2+1^2）
当x=-3/2*(-1)=3/2时，h有最大值为(9*根号2)/8
则，E为(3/2, 3/2), CE=(3*根号2)/2
则△CEF=1/2*CE*h=27/16

如果计算有误，麻烦你自己算一下，毕竟在电脑上一边打一边算很难不出错~

Answer 2

（1）设抛物线为y=ax^2+bx+c,将A,B,C三点坐标代入求得y= - x^2+2x+3;
F、E、C三点构成等腰直角三角形,只可能是角CFE为直角（这个很直观，应该容易理解），于是F的纵坐标为3，代入抛物线方程，得x=2, 所以F（2，3）
（2）直线BC的方程可求，为x+y-3=0, 设F（a, -a^2+2a+3）, 0<a<3, F到直线BC的距离h=|a-a^2+2a+3-3| /根号2（点到直线的距离公式，不知道初中有没有这个内容），当a=3/2时h取最大值，从而h可求，E的坐标可求，CE长度可求...这个就自己算一下啦

追问

第一道，老师说有两个答案

追答

那你可以继续验证一下，如果是角ECF为直角，可以求出直线CF的方程（斜率为1，过点E），看然后看直线CF和抛物线是否有两个交点，如果有，那就是两个答案了

追问

不懂球
麻烦一下，写出过程

追答

直线BC的斜率和直线CF的斜率之积为-1，B，C两点已知，可知BC方程为x+y-3=0, 斜率为-1，所以CF斜率为1，所以CF:y=x+3，此方程与抛物线方程联立，求解，看是否有两个解，若有，其中一个应为C点横坐标，另一个就应该是F的横坐标，判断这个是否在0到3之间，如果是，就成立

Answer 3

简单 简单 简单个屁啊

Answer 4

好简单
这都不会
自己做