Question

已知双曲线x^2－y^2/2＝1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上，且向量MF1*MF2=0,则点M到x轴的距离为

为什么用焦半径方程求出的答案不对， MF1=ex0-a MF2=ex0+a 则(ex0-a)^2+(ex0+a)^2=4c^2 求出x0^2=5/3 求解释

Answer 1

x0^2=5/3，没有错，是求M至X轴的距离，是求Y坐标，不是X坐标值，x0=±√15/3，
设MH是RT△MF1F2斜边上的高，
则MH^2=|F1*H|*|HF2|,(RT△斜边上的高是其分斜边两线段的比例中项），
这里设x0>0,
|F1H|=c+x0,
|HF2|=c-x0,
a=1,b=√2，
c=√（1+2）=√3，
|HM|=√[（c+x0)(x-x0)]=√(c^2-x0^2)=√（3-5/3）=2√3/3，
∴点M到x轴的距离为2√3/3。
若不用焦半径作，可利用双曲线定义来作，
设|MF1|=m,|MF2|=n,
∵向量MF1*MF2=0,
∴MF1⊥MF2，
∴△MF1F2是RT△，
|F1F2|=2c,
m^2+n^2=4c^2,(1)
|m-n|=2a,
两边平方，
m^2+n^2-2mn=4a^2,(2)
（1）-（2）式，
2mn=4(c^2-a^2)=4b^2,
mn=2b^2,
利用三角形面积等值原理，
mn=|F1F2|*|HM|,
2b^2=2c*|HM|,
∴|HM|=b^2/c=2/√3=2√3/3。

Answer 2

额读大三大四的的