Question

已知:如图,梯形ABCD中,AD‖BC,∠B=90°,AD=a,BC=b,DC=a+b,且b>a，点M是AB边的中点

（1）求证：CM⊥DM； （2）求点M到CD边的距离.（用含a，b的式子表示） 快的话追加（最好1min~10min之内）

Answer 1

做DE⊥BC，垂足为E，则四边形ABCD为矩形，则EC=BC-BE=BC-AD=b-a
又因为三角形DCE为直角三角形，根据勾股定理，
DC×DC=EC×EC+ED×ED
ED×ED=(a+b)×(a+b)-(a-b)×(a-b)=4ab
ED=2√ab=AB
因为点M是AB边的中点，AM=BM=√ab
又因为三角形AMD与三角形BMC均为直角三角形，
所以DM×DM=AM×AM+AD×AD=ab+a×a，
同理CM×CM=ab+b×b
DC×DC=a×a+2ab+b×b=CM×CM+DM×DM
所以三角形DMC为直角三角形
所以CM⊥DM
M到CD的距离即三角形MDC以DC为底的高的高度，
所以其距离为CM×DM÷DC=√（ab+a×a）×√（ab+b×b）÷（a+b）
=√ab

Answer 2

做辅助线，将DM延长交交CB的延长线于E，因为AD‖BC，角AMD=角EMB，则两个三角形全等。即EB=AD=a，则CE=CD=a+b。因为EM=DM，CM为公共边，所以三角形CEM全等于三角形CDM。所以CM⊥DE，即CM⊥DM。

Answer 3

(1). 做辅助线，将DM延长交交CB的延长线于E，因为AD‖BC，角AMD=角EMB，则两个三角形全等。即EB=AD=a，则CE=CD=a+b。因为EM=DM，CM为公共边，所以三角形CEM全等于三角形CDM。所以CM⊥DE，CM⊥DM。 (2)做DE⊥BC，垂足为E，则四边形ABED为矩形，则EC=BC-BE=BC-AD=b-a
又因为三角形DCE为直角三角形，根据勾股定理，
DC×DC=EC×EC+ED×ED
ED×ED=(a+b)×(a+b)-(a-b)×(a-b)=4ab
ED=2√ab=AB
因为点M是AB边的中点，AM=BM=√ab
又因为三角形AMD与三角形BMC均为直角三角形，
所以DM×DM=AM×AM+AD×AD=ab+a×a，
同理CM×CM=ab+b×b
DC×DC=a×a+2ab+b×b=CM×CM+DM×DM
所以三角形DMC为直角三角形
所以CM⊥DM
M到CD的距离即三角形MDC以DC为底的高的高度，
所以其距离为CM×DM÷DC=√（ab+a×a）×√（ab+b×b）÷（a+b）
=√ab