Question

∮t ydx+zdy+xdz,其中t为圆周x^2+y^2+z^2=a^2,x+y+z=0,从x 轴正向看去， t为逆时针方向

Answer 1

记曲面∑为平面x+y+z=0上以t为边界的圆，其半径是a。取上侧。由斯托克斯公式，∮t ydx+zdy+xdz=-∫∫dydz+dzdx+dxdy，∑的法向量是(1,1,1)，3个方向余弦都是1/√3，所以∮t ydx+zdy+xdz=-∫∫dydz+dzdx+dxdy=-∫∫(1/√3+1/√3+1/√3)dS=-√3∫dS=-√3πa^2

追问

球与平面所交的圆周是怎样的图形？？投影到三面又是什么呢

追答

平面过球心，截面圆的半径最大，是a。投影到坐标面是椭圆，但是方程复杂一点，旋转坐标轴后才是标准方程。所以转化为第一类曲面积分

追问

你最后一步是用了圆的面积 是不是投影到xoy面是圆 而其他两面是椭圆呢

追答

都是椭圆，平面与球面都是轮换对称的，三个坐标面上的投影不会有区别。不用投影，直接计算∑的面积