Question

如图，梯形ABCD中，AD平行BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF。（1）若EF⊥AF，AF=4,AB=6。求AE的长。

（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE-AD

Answer 1

1）作EP垂直于AB，因为EA=EB，角APE=角BPE，EP=EP，得三角形APE全等于三角形BPE，AP=BP=3，APEF是矩形，所以PE=AF=3，AP=EF=4，在RT三角形APE中，由勾股定理可得，AE=5。
2）过D作DQ平行于AB交BC于Q，则ABQD是一个平行四边形，AD=BQ，又EF平行于AB，所以EF平行于PQ，而F点是CD的中点，所以EF是三角形CDQ的中位线，所以CE=QE=BE-BQ=BE-AD。

追问

能不能清楚点。

Answer 2

解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，
∴AM=BM=
1
2
×6=3；
∵EF⊥AF，
∴∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，
∴四边形AMEF是矩形，
∴EF=AM=3；
在Rt△AFE中，AE=
AF2 EF2
=5；

（2）延长AF、BC交于点N．
∵AD∥EN，
∴∠DAF=∠N；
∵F是CD的中点，
∴DF=FC，
∵∠AFD=∠NFC，∴△ADF≌△NCF（AAS），
∴AD=CN；
∵∠B ∠N=90°，∠BAE ∠EAN=90°，
又AE=BE，∠B=∠BAE，
∴∠N=∠EAN，AE=EN，
∴BE=EN=EC CN=EC AD，
∴CE=BE-AD．