Question

如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF,其中AB=5,BC=8,EC∶CF＝3∶2.

如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF,其中AB=5,BC=8,EC∶CF＝3∶2. (1)求BE得长；（2）∠DCG是矩形ABCD的一个外角，∠DCG的平分线与EF的延长线交于点p，求CP.

Answer 1

（1）证明：因为ABCD是矩形
所以角B=角ECF=90度
因为角B+角BAE+角AEB=180度 （三角形内角和等于180度）
所以角BAE+角AEB=90度
因为AE垂直EF
所以角AEF=90度
因为角AEF+角AEB+角FEC=180度（平角等于180度）
所以角AEB+角FEC=90度
所以角AEB+角FEC=角BAE+角AEB=90度
所以角BAE=角FEC
因为角ABE=角FEC=90度（已证）
所以三角形ABE和三角形ECF相似（AA)
所以AB/BE=EC/CF
因为EC/CF=3/2
所以AB/BE=3/2
因为AB=5
所以BE=10/3
(2)过P作PH垂直CG于H
所以角PHC=角PHE=90度
所以角ABE=角EHP=90度
角BAE=角FEC=角PEH(已证）
所以三角形ABE和三角形EPH相似（AA)
所以AB/BE=EH/PE=3/2
所以EH/PE=3/2
因为BC=BE+CE
BC=8
BE=10/3(已证）
所以CE=14/3
所以PH=28/3
因为CP平分角DCG
所以角PCH=1/2角DCH=45度
因为角PHC+角PCH+角HPC=180度（三角形内角和等于180度）
所以角PCH=角HPC
所以PH=CH
PC=根号2*PH=28倍根号2/3=3分之28倍根号2

Answer 2

(1)∵AE⊥EF
矩形ABCD
∴∠ABE=∠ECF=∠AEF=90°
∴∠BAE+∠BEA=∠BEA+∠CEF=90°
即∠BAE=∠CEF
∵∠ABE=∠ECF
∴△ABE∽△ECF
∴AB∶BE=EC∶CF=3∶2
∵AB=5
∴BE=10/3
(2)∵BE=10/3
∴CE=8-BE=14/3
∴CF=28/9
作PH垂直于BC延长线的H点(这里画不了，我不画了）
∴∠PHE=∠ABE=90°
∵∠FEC=∠PEH
∴△PEH∽△FEC
∴EH:PH=EC:FC
∵∠DCG的平分线与EF的延长线交于点P
∴∠PCH=∠CPD=45°
∴Rt△CHP
PH=CH=x
∴(EC+x):x=3:2
∴x=28/3
∴PC²=CH²+PH²=2x²=1568/9
∴PC=√2×28/3