Question

已知如图在平行四边形abcd中ae,cf分别是角dab角bcd的平分线求证四边形afce平行四边形

已知如图在平行四边形abcd中ae,cf分别是角dab角bcd的平分线求证四边形afce平行四边形(用全等三角形来求证)

Answer 1

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∠DAB=∠BCD（平行四边形对角相等），
∵AE平分∠DAB，CF平分∠BCD，
∴∠EAB=1/2∠DAB， ∠DCF=1/2∠BCD，
∴∠EAB=∠DCF，
∵AB//DC，
∴∠DCF=∠CFB（两直线平行，内错角相等），
∴∠EAB=∠CFB（等量代换），
∴AE//CF（同位角相等，两直线平行），
又∵AF//EC，
∴四边形AFCE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。

追问

(用全等三角形来求证)

追答

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//DC，
∴∠DEA=∠EAB，∠DCF=∠CFB（两直线平行，内错角相等），
∵AE平分∠DAB，CF平分∠BCD，
∴∠DAE=∠EAB，∠DCF=∠FCB，
∴∠DAE=∠DEA，∠CFB=∠FCB（等量代换），
∴AD=DE，BF=BC，
∵AD=BC（平行四边形对边相等），
∴DE=BF（等量代换）
在△ADE和△CBF中，
∵AD=BC，
∠D=∠B（平行四边形对角相等），
DE=BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴AE=CF，
∵AB=CD（平行四边形对角相等），
∴AB-BF=CD-DE，
即AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。

追问

能不能用aas来证

追答

能用，但你不觉得用全等证明太罗嗦吗？也许是为了更多了解平行四边形的性质吧。
但ASA更简单些。
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠D=∠B，∠DAB=∠BCD（平行四边形对边相等，对角相等），
∵AE平分∠DAB，CF平分∠BCD，
∴∠DAE=1/2∠DAB，∠BCF=1/2∠BCD，
∴∠DAE=∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
∵∠D=∠B，AD=BC，∠DAE=∠BCF，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AE=CF，DE=BF，
∴CD-DE=AB-BF，
即CE=AF，
∴四边形AFCE是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。